olymp.Autriche(2005)

EXO:

(h) : un demi cercle de diamètre [AB] et de centre M.

(k) : le demi cercle de diamètre [MB] , intérieur à (h)

X et Y : 2 points sur (k) tels que :longueur arc(BX) = 3/2. logueur arc(BY).

[MY) coupe :[BX] en D , et (h) en C.

Montrer que : Y est le milieu de [CD] ?

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Figure:







on a clairement BY est perpendiculaire à [MC]. Pour montrer que Y est le milieu de [DC] il suffit de montrer que le triangle BDC est isocel ou bien il suffit de montrer que l'angle BDC=BCD <=> BCD=MDW (w=x)

notons :

; ;

on va montrer que x=y:

dans le triangle MDW rectangle (rectangle car MWB=90°) on a



car (YMW=1/2BMY cela est claire puisk arc(BX) = 3/2. logueur arc(BY).)

et dans le triangle BCM on a :



est d'autre part dans le triangle ACB on peut facilement deduire que:

car(BAC=alpha/2 et le triangle ABC est rectangle)
finalement:



d'ou x=y

parfait et bravo pour la jolie figure!!!.
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