Problème de la semaine N°199-201 (17/08/2009-06/09/2009)

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

Solution postée
Lemme:

(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) >= (ab+1)(bc+1)(ca+1)


Preuve:

(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) >= (ab+1)(bc+1)(ca+1)

<=> Sigma_{cyc}(a^2)+Sigma_{cyc}(a^2b^2)+(abc)^2+1 >= abc(a+b+c)+ab+bc+ca+(abc)^2+1

<=> Sigma_{cyc}(a^2b^2)+Sigma_{cyc}(a^2) >= abc(a+b+c)
+ab+bc+ca

<=> (a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2+(ab-bc)^2+(bc-ca)^2+(ca-ab)^2>=0

ce qui est vrai

revenons a notre inégalité:

on a donc

LHS=Sigma_{cyc}(b+(a-b)/(ab+1)=Sigma_{cyc}(a(b^2+1)/(ab+1) >= 3.rac(troisième){abc((a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)/(ab+1)(bc+1)(ca+1)))>=3.rac(troisième){abc}

(D'apré le lemme)

Fin !

solution postée
bonjour ....
ma solution(sauf erreur)...
posons:




(1)
-----------------------------------------------------------------------------
il est facile de prouver que :
a²+b²+c²≥ab+bc+ca
et que : a²b²+b²c²+c²a²≥ab²c+abc²+a²bc
en sommant:a²+b²+c²+a²b²+b²c²+c²a²≥ab+bc+ca+ab²c+abc²+a²bc
<=>1+a²+b²+c²+a²b²+b²c²+c²a²+a²b²c²≥1+ab+bc+ca+ab²c+abc²+a²bc+a²b²c²
<=>(1+a²)(1+b²)(1+c²)≥(1+ab)(1+bc)(1+ac)

(2)
--------------------------------------------------------------------------------
de (1) et (2) on a :

solution postée par e-mail

les enonces des problemes ne sont pas claires

slt
c'est facile de prouver que (a-b)(b-c)(c-a)>=8abc (*)
et la meme on appliquant IAG pour prouver que (1+ab)(1+bc)(1+ca)>=8abc (**)
alors (a-b)(b-c)(c-a)/(1+ab)(1+bc)(1+ca)>=1
pour deduire avec AM-GM a+b+c>=3 V^3 a+b+c
d'ou la conclusion....

master a écrit:

slt
c'est facile de prouver que (a-b)(b-c)(c-a)>=8abc (*)
et la meme on appliquant IAG pour prouver que (1+ab)(1+bc)(1+ca)>=8abc (**)
alors (a-b)(b-c)(c-a)/(1+ab)(1+bc)(1+ca)>=1
pour deduire avec AM-GM a+b+c>=3 V^3 a+b+c
d'ou la conclusion....

Une lemme de marjani par hasard ? ***