ENS (Ulm) un oral

Montrer qu'il existe un multiple de 1996 dont l'écriture décimale ne comporte que le chiffre 4.
N.B : un exo facile et apatant à l'oral de l'ENS, quelle chance si on aurait de meme !
Have fun!!

hmmm je cherche l'indicatrice d'euler!

oui mais si tu te rapelles les exos d'olympiades et les methodes directes il sera dans la poche!
indicatrice d'euler mmmm! je vois ou tu veux arriver, je vais essayer une deuxième methode avec l'indicatrice pourquoi pas!!!

Voila lA SolutION avec l'indicatrice!
10^(2988)=1mod4491
donc il existe un k tel que:
10^(2988)-1=4491k
10^(2988)-1/9=499k
4.(10^(2988)-1)/9=1996k
Et donc:
4(10^(2987)+10^(2986)+...........+1)=1996k
Done!!!!!!!!!!!!

i got the same solution!bravo.

!

Cadeau à naoufal!

En fait ce nombre 1996 est trés beau!

soit n>1.montrer l'existence d'une multiple de 1996 dont le nombre de chiffres est n.

Je laisse à naoufel le soin de trouver la solution!
Elle est facile!

beautiful mind a écrit:

Voila lA SolutION avec l'indicatrice!
10^(2988)=1mod4491
donc il existe un k tel que:
10^(2988)-1=4491k
10^(2988)-1/9=499k
4.(10^(2988)-1)/9=1996k
Et donc:
4(10^(2987)+10^(2986)+...........+1)=1996k
Done!!!!!!!!!!!!

oui beautiful mind j ai eu le meme resultat mais avec le ptit theoreme de Fermat.

on remarque d abord que 499 est premier et que 1996=4*499

donc il suffit de trouver k et n tel que : 4(10^n-1)/9=4*499*k

<==> (10^n-1)=9*499*k

il est clair que pr tt n 9 divise 10^n-1

par le petit theoreme de fermat on a 10^498=1mod(499)

donc 499 divise 10^498-1

et puisque 9 et 499 sont premiers entre eux 9*499 divise 10^498-1

donc si n=498 k existe.

n=14 marche aussi

bonjour,
la solution de memath est parail à la mienne, sinon je vais voir ton exo redouan!

Bien voila la solution!
Par définition du logarithme,log (10^n)=n, et 10^n a (n+1) chiffres.
1996.K (multtiple de 1996) a n chiffres
si 10^(n-1)<=1996.k<10^n
Donc n-1<=log1996.k<n
n-1/log1996 =< log k < n/log1996.
la bijection de log permet de conclure l'existence d'un k tel que 1996.k a n chiffres. d'ou le resultat.
sauf erreur!

radouane_BNE a écrit:

Cadeau à naoufal!

En fait ce nombre 1996 est trés beau!

soit n>1.montrer l'existence d'une multiple de 1996 dont le nombre de chiffres est n.

il est plus simple que le premier.

deja c faux pr n=2 et n=3

pr n>3 il suffit de remarquer qu on rajoutant 1996 à un nombre qui a p>3 chiffres on obtient sois un nombre de p chiffres sois un nombre de p+1 chiffres mais jamais un nombre de p+2 chiffres.
donc toutes les longueurs sont atteintes!

peut étre vous n'avez pas bien compris ma question.

par exemple si je prend n=1,ma question est de prouver l'existence d'un multiple de 1996 dont le nombre de chiffres est 1 (par exemple,est ce pas vrai,10000000000000,ie 1+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0=1)

Il fallait écrire la somme de ses chiffres!Maintenant je peux dire que c'est vraiment impressionnant ! après le ftoor inchallah je vais poster une solution!

radouane_BNE a écrit:

peut étre vous n'avez pas bien compris ma question.

par exemple si je prend n=1,ma question est de prouver l'existence d'un multiple de 1996 dont le nombre de chiffres est 1 (par exemple,est ce pas vrai,10000000000000,ie 1+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0=1)

probleme mal posé !!

jverrai ca apré ftour aussi

désolé madiwhahch 3lia rah dawakhni siam!

radouane_BNE a écrit:

Cadeau à naoufal!


En fait ce nombre 1996 est trés beau!

soit n>1.montrer l'existence d'une multiple de 1996 dont la somme des chiffres est n.

jolie !

pr n=2 , on a 10^251+10²=0mod(1996)

pr n=3 , 10^100+10^3+10²=0mod(1996)

et puisque tt entier n>1 peut s ecrire comme somme de 2 et de 3 on a le resultat voulu.

Mehdi

alors mr.Radouane ?!! ce que j'ai fait ne mérite meme pas une comfirmation ? ou bien cela vous semble pas si clair ?,

oui c'est correcte!bravo!