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Bonjour,

Voici un extrait de notre TD, j'aimerais bien avoir des indications sur ces exercices; Merci d'avance.


Exercice 1.
Soit E et F deux ensembles; on suppose qu’il existe f ∈ F ^E injective et g ∈ E^F injective.
1. Montrer que H est non vide, avec: H = {A ∈ P (E) / g (F \ f (A) ⊂ E \ A)} .
2. Montrer que H admet un plus grand élément (pour l’inclusion), noté B.
3. Montrer que g (F \ f (B)) = E \ B.
4. En déduire qu’il existe une bijection de E vers F.

Exercice 2.
1. Pour tout n ∈ N∗, on note f^n =(fofofo....of)
n fois
, et f^0 = idE . Soit A ⊂ E, on pose An = f^n (A) et B = U n∈N
An.
(a) Montrer que f (B) est sable par f.
(b) Montrer B est la plus petite partie de E stable par f au sens de l’inclusion.
2. On suppose que f est bijective.
Soit Φf : E^E → E^E l’application définie par Φf (φ) = f o φ o f −1 pour tout φ ∈ E^E
(a) Montrer que Φf est bijective de E^E su E^E .
(b) Simplifier Φf ◦ Φg
(c) Simplifier Φf (φ) ◦ Φf (ψ)
On note I et S les sous ensembles de E^E constitués des injections et surjections de E^E .
(d) Montrer que I et S sont stables pat Φf .
(e) Lorsque φ est bijective déterminer (Φf (φ))−1


Sahha Aidkoum