Partie dense de R

MQ l'ensemble E = { V(a) - V(b) / (a;b) de N² } est une partie dense de R.

indication
on peut utiliser que : lim V(n+1) - V(n) = 0 (avec n de N )

remarque
V(a) veut dire la racine carrée de a .

bonne recherche

salam

s'agit il d'un exo que tu partage ou une question à quoi tu cherches de l'aide ?
Si c'est le deuxiéme cas, il y a des indications à donner
Si c'est le premier, merci pour le partage et on peut généraliser ...

bonjour

concernant la généralisation :

est ce qu'on peut dire que si (u_n) est une suite réelle qui tends vers +oo lorsque n tends vers +oo et que $u_{n+1}-u_n$ tends vers 0 lorsque n tends vers +oo alors l'ensemble :
X={u_m - u_n / (m,n) \in IN² } est dense dans IR ?

MOHAMED_AIT_LH a écrit:

bonjour

concernant la généralisation :

est ce qu'on peut dire que si (u_n) est une suite réelle qui tends vers +oo lorsque n tends vers +oo et que $u_{n+1}-u_n$ tends vers 0 lorsque n tends vers +oo alors l'ensemble :
X={u_m - u_n / (m,n) \in IN² } est dense dans IR ?

pour montre que X est dense il suffit de montre que pour a£R et pour tt eps existe y£X tq \a-y\<eps

puisque $u_{n+1}-u_n$->0 existe n0 pour tt n>n0 \u_{n+1}-u_n\<eps

et Un ->00 donc pour U_n0+a existe n1 tq pour tt n>n1 Un1>U_n0+a

on prend le plus petit n1>n0 et il suffit de mq U_n0+eps >Un1>U_n0+a

et puis on conclue que X est dense dans R

bonsoir

Merci mohamed_01_01 d'avoir fait ce suivi mais je vois que tu as juste donné les grandes lignes de la preuve ...
Ce genre de questions necessite une preuve rigoureuse ...

Oui, bien sûr :

Soit v-n=u-(n+)-u_(n) . Soit epsilon>0 . Comme v_n tend vers 0, il existe n0 tel que |v_n|<epsilon

Soit alors a>=0 et la suite w_n=u_(n+n0)-u_n0

Comme w_0=0 lim w_n=+\infty ,il existe p>=0 et tel que w_p=<a=<w_(p+1) et comme |w_(p+1)-w_(p)|<epsilon, on peut donc trouver un w_k, donc un w_i-w_j dans n'importe quel voisinage de n'importe quel réel positif.

{u_i-u-j} est donc dense dans IR+ , donc dans IR (puisque cet ensemble est symétrique par rapport à 0).

Bonsoir

Bonsoir Redouane !!! comment ça va ?

Redouane a écrit:

il existe p>=0 et tel que w_p=<a=<w_(p+1)

Pour compléter , veuille ajouter une petite explication concernant l'existence de p (elle est cachée dans W_0=0 et la notion de plus petite élément d'une partie non vide de IN)


Clique ici pour voir un message que j'avais laissée pour toi (voir la fin )

J'ai essayé de te contacter via ton e-mail (caramail) que tu as mis sur ton profil mais j'ai remarqué qu'il ne marche pas ....
Si tu veux bien écris mois un message (voir mon e-mail sur mon profil) afin que je puisse te contacter par la suite ...

utiliser les suites c'est très facile