partie dense deQ

Sujet: partie dense deQ Sam 29 Sep 2007, 19:33

1) montrez que x² E Q => x² <>2.
2) soit A={ él de IN*/ x² <2} et B={x élé de IN* /x² > 2}.
on suppose que sup(A)= M élé de Q existe on pose m= 2/M.
a) montrez que : m = inf(B).
b)Montrez que pour tout a de A et b de B on a: a =< b.
c) conclure.

Sujet: Re: partie dense deQ Sam 29 Sep 2007, 21:29

1- par l'absurde x=p/q : p^q=1
x² = 2 <=> p² = 2q² => 2/p ..=> 2p'² =q² alors 2/q
donc 2/p^q=1 absurde.

Sujet: Re: partie dense deQ Sam 29 Sep 2007, 21:38

je crois Mr aissa qu 'on x² = p/q et pas x = p/q

mais la question c'est :

est ce que si x² appartien à Q => xappartien a Q ?

Sujet: borne superieur dans Q Sam 29 Sep 2007, 21:49

salut Conan
la quéstion est montrez que : si x est dans Q alors x² est different de 2.
bon courage

Sujet: Re: partie dense deQ Sam 29 Sep 2007, 23:50

soit x£Q, donc x=p/q tel que (p,q)£Z et p^q=1
on suppose qu il existe un x²=2 =>p²=2q² =>p² un nombre pair (et p de Z)=>p est un nbr pair =>p=2k (tel que k£Z)
=>2k²=q² =>q nbr pair
ce qui se contredit avec le fait que p et q premiers entre eux
donc , x£Q=>x²<>2

Sujet: Re: partie dense deQ Sam 29 Sep 2007, 23:52

désolé jai pas vu votre démo aissa

Sujet: Re: partie dense deQ Dim 30 Sep 2007, 08:47

aissa a écrit:: 2) soit A={ él de IN*/ x² <2} et B={x élé de IN* /x² > 2}.
on suppose que ....................

BJR AISSA !!
Tu veux sans doute dire :
<< x élé de Q* >> dans la définition de A et B !!
A+ LHASSANE

Sujet: borne sup dans Q Dim 30 Sep 2007, 14:18

BJR Oeil_de_lynx comment ça va. bon ramadan .
oui comme tu la remarqué
A={ x élément de Q*/ x²<2} et B={ x élément de Q* / 2< x²}

Sujet: Re: partie dense deQ Dim 30 Sep 2007, 14:26

BJR AISSA !!
Très Bien et Toi ??
Pour le RAMADAN , on a dépassé la mi-temps !!!
Il est exceptionnel car on aura CINQ vendredi échus durant ce Mois Sacré !!!!!
C'est bien d'introduire la méthode des Coupures de Dedekind pour définir le réel 2^(1/2) . C'est dommage car on ne le fait plus actuellement même en 1ère Année Fac .
Portes toi bien et A+
LHASSANE

Sujet: Re: partie dense deQ Dim 30 Sep 2007, 14:38

Merci bien Mr LHASSAN pour l'information ,je suis pas à jour avec les changement des programmes!
et trés bonne 2 ième moitié du moi sacré du ramadan.
aissa

Sujet: Re: partie dense deQ Lun 01 Oct 2007, 15:12

2) a) on a M est different de V(2) d'aprés 1)
alors M²>2 ou bien M²<2
le premier cas est à exclure car si r e =< 1/3 min(1, (M²-2)/2M-1))
on aura: M² > (M- e)²>2 et pour tout x de A M-e > x absurde.
alors on supose que M²<2
on a : M²<2 <=> 2< 4/M² , alors 2/M est dans B.
donc m =<2/M (1)
de plus pour tout x Q on a x élém de A <=> x² =<M<2
<=> 2< 4/M =< 4/x² <=> 2/x est dans B
donc tout élé de B verifie : 4/M² =< x² alors 2/M =< x
donc 2/M =< m (2)
(1) et (2) => m=2/M
b) pour tout a de A et b de B on a a² <2<b²
alors a<b car a et b positifs.
c)de a) et b) on en déduit que : M=< m
supossons que M <m soit r=(M+m)/2 élément de Q, on a M<r<m
donc on aura à la fois : r²<2 et r²>2 absurde.
donc : 2/M =m=M => M²=2 or M est dans Q absurde .
C/C A n'admet pas de borne supérieur dans Q...

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