Jolie Absurde

SAlam o alikom

Montrer que Racine(2) est irrationel . par absurde Poser A={n€N* tq nracine2 €N }

A++

par absurde supposons que A est non vide , A est une partie de N donc admet un plus petit element notons le a ,

posons n=aV2-a , donc n est un entier

on a nV2=2a-aV2 qui est entier aussi donc n€A

ce qui est absurde car n<a

Bon raisonnement memath !!
on peut également montrer la même chose autrement :

Par l'absurde, supposons que V2 £ Q
Donc il existe (a,b) £ IN×IN* tq. V2=a/b
de a=bV2 de a²=2b²
Donc b²/a² c.a.d a²vb²=b² (v = vectoriel)
or avb=1 d'où a²vb² =1
Alors b²=1 et 0<b
donc b=1
d'où a=V2 £ IN
Ce qui est absurde

C/c : V2 est irrationel
Cqfd .

Salam

Bon raisonnement Mehdibouayad ; mais le but de l'exos est d'utiliser les propriétés de N "le second chapitre' ; c'est pour cela qu'on a imposé la façon aveclaquelle on va introduire l'absure .


@++

Oui je vois bien cela !!!

Ce que j'ai fait moi est un peu Hors imposition de l'absurde !
Mais Bon .. Une autre Démo à connaitre !

@++

on peut raisonner d'une autre par absurde supossons que racine2 est rationnel donc il est evident que A est different de l'ensemble vide soit min(A)=q

posons p=qracine(2) € IN on alors p²=2q² donc p est paire posons alors p=2p' donc 4p'²=2q² d'ou q²=2p'² cad q est paire posons alors q=2q' donc 4q'²=2p'² d'ou p'²=2q'² donc p'€IN donc q'<q

Absurde car q est un minorant de A CQFD

oui par exemple !