Exo arithmétique difficile

Saluut je coince sur un exo d'arithmétique
1/Trouver (n²+n+1)^(n+1) pour n appartient à IN
2/Trouver (2puissance(n+1)-1) ^(2puissance(n)-1) pour n appartient ) IN*

^ veux dire pgcd et pas puissance

bonjour....
la division euclidienne ou bien Bézout ...

Bonjour ,
C'est la première leçon de T.C ... la division euclidienne c'est pour les polynômes (quatrième leçon) et le Théorème de Bézout , J'en sais rien .

Tu pourrais pas me dire comment on fait pour trouver le pgcd de deux inconnues ?

Merci

bonjour

remarque que : n^2+n+1 = n(n+1) +1

donc , PGDC(n^2+n+1,n+1) = 1

@ + .

PyTH-Ali a écrit:

Bonjour ,
C'est la première leçon de T.C ... la division euclidienne c'est pour les polynôme et le Théorème de Bézout , J'en sais rien .

Tu pourrais pas me dire comment on fait pour trouver le pgcd de deux inconnues ?

Merci

seulement pour les polynômes....et ici il ne s'agit pas de polynômes ??

bonjour

je crois que PYTH-Ali est en TC , donc il n'a pas encore vu la division euclidienne Majdouline .

@ + .

j'avais remarqué que n²+n+1 = n(n+1) +1
mais comment tu fais pour en déduire la solution ?
par ce que là tu prouves que la division euclidienne de n²+n+1 par n+1 donne quotient n et reste 1 . cela prouve seulement que n²+n+1 n'est pas divisible par n+1 . mais ils ne sont pas forcément premiers entre eux . par exemple 42 n'est pas divisible par 30 mais 42^30 = 6.
Merci de m'expliquer doucement par ce que les pgcd c'est pas ma tasse de thé .

EDIT : j'ai parlé de quatrième leçon pas degré ... et oui je suis en TC

bonjour

ok PYTH-Ali ,

on a : n^2+n+1 = n(n+1) +1 .

et (n+1) = 1(n+1) + 0

or le PGDC de deux nombres est le dernier reste non nul dans les divisions successives .

d'où , PGDC(n^2+n+1,n+1) = 1 .

@ + .

PyTH-Ali a écrit:

j'avais remarqué que n²+n+1 = n(n+1) +1
mais comment tu fais pour en déduire la solution ?
par ce que là tu prouves que la division euclidienne de n²+n+1 par n+1 donne quotient n et reste 1 . cela prouve seulement que n²+n+1 n'est pas divisible par n+1 . mais ils ne sont pas forcément premiers entre eux . par exemple 42 n'est pas divisible par 30 mais 42^30 = 6.
Merci de m'expliquer doucement par ce que les pgcd c'est pas ma tasse de thé .

EDIT : j'ai parlé de quatrième leçon pas degré ... et oui je suis en TC

42/36=1+6 le reste c 6...alors pgcd(42;36)=6

Désolé mais normalement on fait les divisions successives pour écrire un nombre sous forme d'un produit de nombres premiers.
et pas pour trouver le PGCD .
le PGCD c'est le produit des nombres premiers communs élevés à la plus petite puissance.
Tu pourrais m'expliquer encore + ?
désolé de te faire chier , mais je suis vraiment pas habitué aux notions de multiples et diviseurs

ici pour déterminer le pgcd on prend le reste.....
sinon...
je te présente une autre méthode...espérons que ça soit au niveau T.C
soit pgcd(n²+n+1,n+1)=d
n²+n+1=kd (k£IN)
n+1=k'd (k'£IN)
donc (n+1)²=dm (avec m=k'(n+1))
n²+2n+1=dm (1)
et on a :n²+n+1=kd (2)
(1)-(2)=n=d(m-k)=dh (avec h=m-k)
n=dh
n+1=k'd
alors ça devient: dh+1=k'd
1=d(h-k')
d divise 1...alors d=1...d'où pgcd(n²+n+1,n+1)=1
je te laisse de prouver la 2) en utilisant la même méthode

bonjour

voilà une autre méthode .

on pose : PGDC( n^2+n+1;n+1) = d , où d app à IN .

donc on aura : d / n^2+n+1 et d / n+1 .

donc d / n(n+1) = n^2+n .

et comme , d / n^2+n+1 et d / n^2+n alors d / (n^2+n+1) - (n^2+n) = 1 .

ce qui prouve que : d = 1 cqfd .

@ + .

Je comprends mieux cette méthode ... merci
Mais je voudrais en savoir plus sur le fait que pgcd(a,b) est le dernier reste non nul de a et b . merci

j'ai essayé de trouver le deuxieme .
on pose pgcd(....) = d
2^(n+1) - 1 = dk
2^(n) - 1 = dp

2^(n+1) - 2^(n) = d(k-p)
2^n = d(k-p)
2^(n) - 1 = dp
d(k-2p) = 1

d'ou d = 1

c'est juste ?

en passant vous avez pas d'autres exercices du genre ... j'en trouve pas dans mes livres , merci

2_n+1 - 1 = 4x2_n-1 -1
= 3x2_n-1 + (2_n-1 -1)
donc d= 2_n+1 - 1 ^ 2_n-1 -1 = 2_n-1 -1 ^ 3x2_n-1

vu que 2_n-1 -1 ^ 2_n-1 = 1

on a d= 2_n+1 - 1 ^ 2_n-1 -1 = 2_n-1 -1 ^ 3x2_n-1
= 2_n-1 -1 ^ 3


on a 3 un nombre premier donc d=1 ou d= 3

pour d= 3 , on 2_n-1 - 1 =3k
2_n-1=3k+1

je sais pas comment faire la suite sans utiliser l7issabyat