un défi :calculer une limite

f(x)=(1-(cos(x)*cos(2x)*cos(3x)*......*cos(nx))/(x²) calcules la limite de f(x) quand x tend vers 0

c'est une limite très difficile

(j'oublierai parfois d'écrire "lim" désolé )

lim f(x)= 1-(cos(x)*cos(2x)*cos(3x)*......*cos(nx))/(x²)
=(1-(cos(x)*cos(2x)*cos(3x)*......*cos((n-1)x))/(x²) + (cos(x)*cos(2x)*cos(3x)*......*cos(n-1)x)))-(cos(x)*cos(2x)*cos(3x)*......*cos(nx))/(x²)

= 1-(cos(x)*cos(2x)*cos(3x)*......*cos((n-1)x))/(x²) - 0*1/2

=1-(cos(x)*cos(2x)*cos(3x)*......*cos((n-1)x))/(x²)

je sens qu'à la fin ça va donner 1/2 alors je vais tenter de prouver par récurrence que pour tout n appartenant à N* on a f(x)=(1-(cos(x)*cos(2x)*cos(3x)*......*cos(nx))/(x²)= 1/2

pour n=1 c'est facile

pour n>1, on suppose limf(x)=(1-(cos(x)*cos(2x)*cos(3x)*......*cos(nx))/(x²)=1/2

prouvons que limf(x)=(1-(cos(x)*cos(2x)*cos(3x)*......*cos((n+1)x))/(x²)

on a
lim(1-(cos(x)*cos(2x)*cos(3x)*......*cos(n+1x))/(x²)
=lim(1-(cos(x)*cos(2x)*cos(3x)*......*cos(nx))/(x²)+(cos(x)*cos(2x)*cos(3x)*......*cos(nx)-(cos(x)*cos(2x)*cos(3x)*......*cos((n+1)x))/(x²)
=lim(1-(cos(x)*cos(2x)*cos(3x)*......*cos(nx))/(x²)+(cos(x)*cos(2x)*cos(3x)*......*cos(nx)(1-cos((n+1)x))*(n+1)²/(x²)(n+1)²


= 1/2 + 0*1/2 = 1/2

donc f(x)=(1-(cos(x)*cos(2x)*cos(3x)*......*cos(nx))/(x²)=1/2 quand x tend vers zéro si je me trompe pas ^^

salut ta reponse est fausse

tu trouveras la reponse sur ce lien :

https://mathsmaroc.jeun.fr/terminale-f3/une-limite-tiree-du-programme-t9899.htm

ou :

http://fr.answers.yahoo.com/question/index?qid=20081005135507AAJIP9a

BSR au Forum !!

En effet , cette limite n'est pas évidente à trouver ..... elle exige un travail un peu plus soigné . La proposition de marichal est fausse .

Voir Ma Soluce ICI avec les Outils de BACSM :

https://mathsmaroc.jeun.fr/terminale-f3/limite-interessante-t9656.htm#82433

LHASSANE

j'ai relu ma démonstration 5 fois avant de trouver l'erreur.... cos(0) = 1 et pas zéro
je vais devoir la refaire à cause de mon erreur grossière , je me sens un peu honteux

bon je vais la refaire cette démonstration ^^

lim f(x)= 1-(cos(x)*cos(2x)*cos(3x)*......*cos(nx))/(x²)
=(1-(cos(x)*cos(2x)*cos(3x)*......*cos((n-1)x))/(x²) + (cos(x)*cos(2x)*cos(3x)*......*cos(n-1)x)))-(cos(x)*cos(2x)*cos(3x)*......*cos(nx))/(x²)

= (1-(cos(x)*cos(2x)*cos(3x)*......*cos((n-1)x))/(x²) +(cos(x)*cos(2x)*cos(3x)*......*cos(n-1)x)(1-cos(nx)n²/(x²)²

=(1-(cos(x)*cos(2x)*cos(3x)*......*cos((n-1)x))/(x²) + 1/2n²
(même méthode)
=(1-(cos(x)*cos(2x)*cos(3x)*......*cos((n-2)x))/(x²) + 1/2n² + 1/2(n-1)²
=(1-(cos(x)*cos(2x)*cos(3x)*......*cos((n-3)x))/(x²) + 1/2n² + 1/2(n-1)² + (1/2n-2)²
....

=1/2(1+2 +....+ (n-1)²+n²)

on a (n-1) puissance 3 = nP3 - 3n² + 3 n -1 (P= puissance)
on a n-2 puissance 3 = ((n-1)-1)P3 = (n-1)P3 -3(n-1)² + 3(n-1) -1
on a n-3 puissance 3 = ((n-2)-1)P3 = (n-2)P3 -3(n-2)² + 3(n-2) -1

....
donc

-(n-1)P 3 +nP3 + 3 n - 1= 3n²
-(n-2)P3 +(n-1)P3 + 3(n-1) -1=3(n-1)²

....
3(n²+(n-1)²+ (n-2)²+...+1)= nP3-n + 3 (n-1 + n-2+ n-3 +....1)
= np3 - n + 3n(n-1)/2
=1/2 ( 2nP3 - 2n -3n(n-1))
=1/2(n(2n²-2) -n ( 3n-3) )
=1/2 n (2n² -2 -3n+3)
=1/2n(n+1)(2n+1)

donc n² + (n-1)² +... +1 = 1/6n(n+1)(2n+1)
lim f(x)= 1/2(1+2 +....+ (n-1)²+n²) = 1/12n(n+1)(2n+1)

Remarque :

pour la réponse posée dans google answers : Il a utilisé le théoreme de l'hopital f'(0) / g'(0)
m^me que g'(0) = 0.

est ce que c faux ?