exo difficile (un defi pour les mathimaticiens)

on suppose fog(x)=gof(x) (quelque soit x appartient a [0,1])
demontrez que il existe un (a) appartient a [0,1]): f(a)=g(a)

l ensemble d arrivée des applications f et g est la clé du probleme et c'est ce qui manque , precise le stp ...

oui tu as raison on a f et g définie de [0.1] au [0,1] et continue dans [0,1] OK ?? alors j'attends la réponse

soient J=[0,1] , Im(f) l'ensemble des image de f dans [0,1]et Im(g) l'ensemble des image de g dans [0,1]

f et g sont des app. de J dans J
donc { Im(f); Im(g)} appartient à J

donc Im(fog) appartient à Im(f) et Im(gof) appartient à Im(g)

puisque fog(x)=gof(x) alors Im (gof) = Im(fog) donc

Im(f) intersection Im(g) n'est pas vide

slt!!
Im (gof) = Im(fog) est un résultat immédiat puisque fog=gof !!
donc comment t'as passer à "Im(f) intersection Im(g) n'est pas vide"??

Perelman a écrit:

slt!!
Im (gof) = Im(fog) est un résultat immédiat puisque fog=gof !!
donc comment t'as passer à "Im(f) intersection Im(g) n'est pas vide"??

t'as deux ensembles A et B qui contiennent un ensemble commun C

puisque C appartient en même temps à A et B

alors C appartient à A intersection B
et on a C n'est pas vide , donc l'intersection n'est pas vide

dans cet exo A= Im(f) , B= Im(g) et C= Im(fog)=Im(gof)

ok, mais est ce que le fait que {Im(f) intersection Im(g)}#ensemble vide ====> f(x0)=g(x0) ??!!!
ton résultat donne : il existe un couple (x0,x1) tel que : f(x0)=g(x1)
qui t'as dit que x0=x1?

ok, je croix que j'ai trouvé la réponse :

suite:

f et g sont continue donc Im f et Im g sont des intervalles.

soit K = { Im f intersection Im g }

l'intersection de deux intervalles ne peut être qu'un intervalle ou un point

premier cas ( si K est un intervalle)


soit Y0 le centre de l'intervalle k et X0 tel que f(X0)=Y0

f est continue en x implique lim f(x) en X0 = Y0

implique

pour tt epsilon >0 il existe beta>0 tel que x appartient à [X0-beta;X0+beta] implique f(x) appartient à [Y0-epsilon; Y0+epsilon]

implique
pour epsilon = ( la longueur de K )/ 2 :

il existe beta >0 tel que x appartient à [X0-beta;X0+beta] implique f(x) appartient à K



autrement dit

il existe un intervalle B tel que f(B)=g(B)=K

f et g sont continues sur B donc f-g l'est aussi.

TVI IMPLIQUE : il existe c appartenant à B tel que (f-g)(c)=0

pourquoi??:
l'intervalle K est compris dans [0,1] , d'où il existe a et b positives tels que k=[a,b]
sur l'intervalle B on a a-b< f-g< b-a , pour y appliquer le TVI il suffit de prendre le sous-intervalle de B de bornes qui ne sont rien que les antécédents de (a-b) et (b-a) respectivement par la fct f-g; soient m et n ces derniers ; on remarque que (f-g)(n)*(f-g)(m)<0 ........

deuxième cas ( K est un point) :

soit z ce point ;

z appartient également à Im f et Im g donc il exist a et b tels que z=f(a)=g(b)

et on a g(z)=g(f(a))=f(g(a)) donc g(z) appartient à K;( car il appartient en même temps à Im f et Im g)
donc g(z)=z

de même on prouve que f(z)=z

la solution de l'équation en question est donc z.


[/b]

c'est quoi Im f ????????????????

regarde plus haut


juste j'ai oublié de dire que tout les intervalles en haut sont fermé , car les fct sont continues et l'intervalle [0;1] est également fermé.

ps: où t'as trouvé cet exo

merci cet exo est de 7a9anie prof qui a fait dima dima c'est lui qui nous etudie les maths

ok ; dis moi si t'as compris ma solution; et si ton prof vous a donné la solution;

nn pas encore notre prof nous a pas encore donné la réponse
merci

mais qui t'as dis que z appartient a [0,1]??????

on suppose que f(x)#g(x)
alors f(x)>g(x) ou g(x)>f(y)
on prend par exemple f(x)>g(x)
tu vas montrer que f(x)>= g(x) + m
et tu vas montrer apres avec la reccurence que f^n(x)>= g^n(x) + nm
en remarquant que f^n(x)=fofofofof......f(x) et g^(x)=gogog....g(x)

alors mnt on va deduire le resultat

on a f^n(x) - g^n(x)>= nm et -1<f^n(x) - g^n(x)<1 pareceque f et g dans [0.1]
alors lim f^n(x) - g^n(x) = +oo et lim f^n(x) - g^n(x) = 1
ce qui absurde notre supposition
alors il existe un x tel que f(x)=g(x)