dm sur les suites

Bonjour, j'ai un dm de maths et je bloque sur cet exercice :

On considère la suite (Un) définie par U0 = 1 et Un+1 = (3/4) Un + 2

1) Tracer dans un repère orthonormal les droites D d'équation y=3/4x +2 et delta d'équation y=x. Calculer les coordonnées du point d'intersection A.

2) On sait que U0 = 1 donc U0 < 8
Montrer que si Up< 8 alors on a aussi Up+1< 8

3) Montrer que (Un) converge vers 8


Aidez-moi svp
Merci

BSR maya1011 !!

Ton exo est si facile qu'il se laisse faire ......
Des indications :
1) Les coordonnées du point d'intersection s'obtiennent en résolvant l'équation (3/4).x+2=x celà te donnera l'abscisse du point cherché puis son ordonnée sera égale à son abscisse ....
2) Par récurrence sur p ...... Un vrai régal de facilité ...
3) La suite est croissante et majorée donc .......
Si L est sa limite alors L=(3/4)/L+2 puis tu retombes sur la question 1) .

Essaye toute seule , tu y arriveras sûr !!

LHASSANE

pour 1),tu traces,j'ai rien à ajouter,ce sont deux droits donc te suffit deux points.....

pour 2) tu utilises la relation de récurrence,on a u(p+1)=(3/4)*u(p)+2=<(3/4)*8+2=8.

pour 3),c'est une suite arithmétique,donc tu peux avoir la formule explicite de u(p) en fonction de p,et puis la limite c'est évidente!

à part ça, on a u est majoré (c'est la question 2) qui n'est autre qu'une démonstration par récurrence de ça),et elle est croissante (ça à toi le le prouver,c'est facile!) donc convergente,notons l sa limite,dans la relation de récurrence,on fait tendre p à l'infinie ce qui donc l=(3/4)*l=2 ==>l=8!

désolé monsieur LHASSANE, j'ai pas vu votre élégante solution,j'ai posté la mienne au même moment que vous!

ok pour le 1) et le 2)

Mais pour le 3) je ne vois pas ce que veut dire converger ?

maya1011 a écrit:

ok pour le 1) et le 2)

Mais pour le 3) je ne vois pas ce que veut dire converger ?

BSR maya1011 !!
Celà veut dire Lim Un =8 lorsque n ---->+oo

LHASSANE

A ok donc il faut que je calcule Un en fonction de n
pour ensuite montrer que la limite quand n tend vers +∞ =8

Ok merci beaucoup pour votre aide

maya1011 a écrit:

A ok donc il faut que je calcule Un en fonction de n
pour ensuite montrer que la limite quand n tend vers +∞ =8

Ok merci beaucoup pour votre aide

Non pas toujours !!
Ici c'est peut etre faisable comme l'a signalé Radouane !!
Mais en fait ce n'est pas nécessaire puisque ta suite est une SUITE RECCURENTE de la forme :
uo=1 et u(n+1)=f(un) pour tout entier naturel n.
La fonctiion f est ici :
x ---------------> f(x)=(3/4).x+2
f est continue de IR dans IR ;
On sait alors que si la suite (un)n CONVERGE alors sa limite L vérifie l'équation f(L)=L .

LHASSANE

Ok j'ai compris
Merci beaucoup pour votre aide =)