Ce problème pourrait être interprété géometriquement,
Remarquer dans un premier temps que z1 et z2 et z3 appartiennent à un cercle de centre O qu'on désigne et de rayon R.
LHS est sous forme de de somme de distances.
Soit A,B et C les points d'affixes z1,z2 et Z3.Considérons le triangle ABC dans le cercle C.
LHS<=9/4R²<==> AB.BC+AC.AB+AC.BC<=9/4R²
Et d'après la loi de sinus on a :
BC=2Rsin(Ä) , AC=2Rsin(b), AB=2Rsin(c).
avec a+b+c=pi.
LHS<=9/4R²<==> sin(A)sin(B)+sin(B)sin(C)+sin(A)sin(C)<=9/4
Or, sum(sin(A)sin(B))<=1/3(sin(A)+sin(B)+sin(C))²
Or, sin(A)+sin(B)+sin(C)<=3.sqrt(3)/2
Donc 1/3(sin(A)+sin(B)+sin(C))²<=1/3.9.3/4=9/4.
ce qui conclut!!
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