joli exo :continuité sur U

soit U l'ensemble des affixes des points du cercle unité.
et f de U vers R une application continue.
montrer qu'il existe deux points diametralement opposé du cercle unité ayant la meme image par f.

j'attend une solution sans utiliser les propriétés de la connexité

considerons la foncion g(x)=f(e^[i(x+pi)])-f(e^ix)
il sagit de montrer que cette fonction s'annule , le theorme des valeurs intermediaires permet de conclure , en effet
g(0)=f(-1)-f(1) , et g(pi)=f(1)-f(-1)
si f(1)=f(-1) ,c'est bon puisque 1,et -1 sont diametralement opposés;
sinn g(0).g(1)<0 , et le TVI assure l'existence de x dans [0,pi] tel g(x)=0,

Bien vu Fermat c'est ma solution aussi