TOPOLOGIE D'EVN

bonjour
on a E un ev muni d'une norme N (pas necessairement de dimension fini) et A un compact de E
on suppose qu'il existe un r>0 tq pr chaque couple (a,b) de A² on aie N(a-b)>r peut on conclure que l'ensemble A est fini ?

Bnjour :
si on considere F=U{B(a,r/4)} avec a decrit A , F recouvre A et puis A cpcte et dc Borel-Lebesgue assure qu'on peut y tirer un recouvrement fini et remarquant que les boules B(a,r/4) sont disjointes t contiennent chacune une seul element de A alors cqfd.

ici E n'est pas de dimension fini ! le theoréme que tu as utilisé n'est valable qu'en dimension fini (d'apres ce que j'ai trouvé sur internet...)

ah desolé =)
ben placons dans F=vect(A) , A vu comme partie de F ,
si F de dim fini c'est reglé ( par le tuc ci dessus)
, si F adment une base constitué d'elemnts de A soit (ai)_{i£N} cette base . clairement A est infini dans ce cas , si on considere la suite (an) constitué des elements de la base (ai) , la compacité de A assure que (an) admet une valeur d'adherance l
soit (un) la suite extraite de (ai) (un) cv alors d'un certain rang on aura N(un-u(n+1))<r ! absurde! et donc F de dim finie et par site A fini !

la suite u(n) peut etr stationnaire elle est bien convergente dans ce cas aussi mais on ne trouvera plus la contradiction

gambas a écrit:

la suite u(n) peut etr stationnaire elle est bien convergente dans ce cas aussi mais on ne trouvera plus la contradiction

(un) ne peut etre stationnire ! la suite (ai) infini est a elements distinctes ( c la dite base de F ..)

en effet oui ! mais comment tu prouve l'existence de la base ? si F est de dim infini il est facile de justifié l'existence d'une famille infini des a(i) libre et dans ce cas sa marche aussi
merci pr l'aide

gambas a écrit:

en effet oui ! mais comment tu prouve l'existence de la base ? si F est de dim infini il est facile de justifié l'existence d'une famille infini des a(i) libre et dans ce cas sa marche aussi
merci pr l'aide

F=vect(A) alors on peut trouver un systeme generateur (ai) de F dont les elements sont dans A ( je pense qu'un systeme generateur suffit puis qu'on a utilusé aprés que le fait que les "ai" sont distincts .. )

sois le rebienvenu (B.C),on t'a vachement manqué!

radouane_BNE a écrit:

sois le rebienvenu (B.C),on t'a vachement manqué!

merçi radouane , on dirait je fais une translation de bureau

surtout avec un projet de trouver la meilleur solution pour pousser les gens à visiter la soit-disante "Effnmvjsknejj",faut vraiment retourner au site et faire cette translation du bureau!

Joli exercice !)

idée : écrire A sous forme d'un réunion dénombrable d'ouverts ,
A compact => fermé
Soit d la distance associée à la norme N ,
quelque soit x --> d(x,A) est continu
quelque soient (x,y)£A² il existe r>o tel que d(x,y)>r ( cette propriété vient du faite que d est lipschitzienne)
pour epsilon=1/n+r
quelque soit n £ IN* A_n={(x,y)£A²,d(a,b)>r-1/n}(A_n ouvert)
intersection dénombrable des A_n est égale à A c.q.f.d

Cordialement Hamza

gambas a écrit:

bonjour
on a E un ev muni d'une norme N (pas necessairement de dimension fini) et A un compact de E
on suppose qu'il existe un r>0 tq pr chaque couple (a,b) de A² on aie N(a-b)>r peut on conclure que l'ensemble A est fini ?

bonjour à tous !!

à mon avis cela est evident apres qu'on a avoir que A est localement compacte (voir qu'il est compact) et en plus on a pr tt a;b£A N(a-b)>r (avec r>0 ) ce qui donne que Va n Vb = O (O ensemble vide et Vx est un voisinnage de point x) alors A est séparé et comme egalement A est un espace vectoriel topologique donc A forcement de dimension finie !
cqfd
et merci
____________________
LAHOUCINE

selfrespect a écrit:

Bnjour :
si on considere F=U{B(a,r/4)} avec a decrit A , F recouvre A et puis A cpcte et dc Borel-Lebesgue assure qu'on peut y tirer un recouvrement fini et remarquant que les boules B(a,r/4) sont disjointes t contiennent chacune une seul element de A alors cqfd.

Je pense qu'on n'a pas besoin de l'e.v F

Ac U{B(a,r/4)} avec a decrit A et A compact alors on peu extraire ....

Une autre méthode : Si A est infini ==> il admet un point d'accumulation
===> il existe une suite de Cauchy, d'éléments de A, 2 à 2 distincts.
===> à partir d'un certain rang les éléments de cette suite ne vérifient pas l'hypothèse

abdelbaki.attioui a écrit:

selfrespect a écrit:

Bnjour :
si on considere F=U{B(a,r/4)} avec a decrit A , F recouvre A et puis A cpcte et dc Borel-Lebesgue assure qu'on peut y tirer un recouvrement fini et remarquant que les boules B(a,r/4) sont disjointes t contiennent chacune une seul element de A alors cqfd.

Je pense qu'on n'a pas besoin de l'e.v F

Ac U{B(a,r/4)} avec a decrit A et A compact alors on peu extraire ....

Une autre méthode : Si A est infini ==> il admet un point d'accumulation
===> il existe une suite de Cauchy, d'éléments de A, 2 à 2 distincts.
===> à partir d'un certain rang les éléments de cette suite ne vérifient pas l'hypothèse

j'ai reduit le travail a l'espace vect(A) pr "enlever" de E la partie qui ne ns interesse pas , mais avant j'ai fait exactement la meme demarche qu'en rouge , sauf que celle ci a été rejeté par celui qui pose la question ( "Borel- lebesgue n'est vrai qu'en dmension finie" méme si j'ai des doute a propos son affirmation , mais j me souviens pas du bon resultat = )

A est compact alors par définition dans un espace topologique on peut lui appliquer la propriété de Borel-Lebesgue.

Ce qui n'est pas vrai si A est seulement fermé borné en dimension infinie .