derivation

salam

soit f [0,1]----->R continue en 0 et verifiant

lim(x-->0) [ f(2x)-f(x) ] /x =a . Montrez que f'd(0) existe .

et merci

déjà posté! j'arrive pas à trouver le lien....

remarque que pr tt n de N :

lim(0) (f(x)-f(x/2^{n+1})/x=a(1-1/2^{n+1 })

on peut traiter le cas generale ,cad il existe k dans ]0,1[ tel que
z=lim[f(x)-f(kx)]/x existe quant x tend vers 0+
en effet on montre que pour e>0 ( en fait e c'est epsilon)
il existe a>0 tel que pour tout x dans ]0,a[ ,et pour tout n dans N,on ait
l[f(x)-f(k^(n+1)x)/x - (1+k+k²...+k^n)zl<= e(1+k+k²...+k^n) [Inegalité triangulaire]
en passant a la limite quand n tend vers plus infinni
on deduit: lf(x)-f(0)/x - z/(1-k)l<= e/(1-k)
en conclusion , on a montrer que:
pour tout e>0 ,il existe a>0 tel que pour tout x dans ]0,a[ on ait:
lf(x)-f(0)/x - z/(1-k)l<= e/(1-k)
ce qui est exactement la definition de la derivée a droite ,
remarque:dans ton cas k=1/2 ;et z=a/2
ta limite vaut donc a