Partie entiere de Un

Etude de cas selon que L est entier ou pas...

Si L est entier, on ne peut rien dire, suffit de considérer les suites L+1/n, L-1/n et L+(-1)^n/n par exemple...

Si L ne l'est pas, à partir d'un certain ordre, un appartient à l'intervalle ]L-e,L+e[ avec e suffisamment petit pour que cet intervalle soit inclut dans [E(L), E(L)+1[...

spiderccam a écrit:

Salam o alikom

Evaluer lim E(Un) si Un converge vers L

BSR spiderccam !!

Celà dépend et de L et du comportement de la suite (un)n par rapport à sa limite L . Je m'explique :
1) Si L est dans IR\Z aucun pb car la fonction E(.) y est continue ....On a E(L)<L<E(L)+1
Donc si tu prends 0<eps< (1/2).Inf{L-E(L);1+E(L)-L) alors il existe No tel que pour tout n>=No on ait |un-L|<=eps
dans ce cas on aura tous les un dans ]E(L);E(L)+1[ et donc E(un)=E(L)
La suite (E(un))n sera stationnaire convergente vers E(L) .
2) Si L est dans Z, alors tout dépend du comportement de (un)n
Si à partir d'un certain rang L <=un ( en particulier si la suite est décroissante ) alors (E(un))n converge vers E(L) par continuité à DROITE de la fonction Partie Entière
Si la suite (un)n OSCILLE de part et d'autre de L alors le résultat est que la suite (E(un))n ne converge pas vers E(L) .
par exemple : prends la suite (un)n définie par un=(-1)^n/n
Pour la sous-suite (u(2n))n on a E(u(2n)) ------> 0
mais pour la sous-suite (u(2n+1)n ona E(u(2n+1)) ----->-1

Pensant t'avoir aidé ....

LHASSANE

PS : DSL hamzaaa pour la télescopie .... juste le temps de la rédaction .....

BSR MR lhassane et hamzaa

Vous avez oubliez le cas ou L est infinie la limite de E(un) vaut L

Dans le cas ou L n'est pas un entier on peut utiliser la caracterisation sequentielle de la limite cad si limite de f(x) x--> a vaut l ssi pour toute suite xn qui tend vers a alors lim f(xn) n-->+oo vaut l
ou on peut montrer que la suite E(un) est stationnaire en E(l) donc convergente en ce point comme vous l'avez fait

Salam o alikom

BSR spiderccam !!

D'une part , tu n'as pas précisé que L pouvait être +oo ou -oo
Généralement , lorsqu'on rédige comme tu l'as fait , à défaut le L est REEL .....
Cependant , comme on a toujours un - 1 < E(un) <=un pour tout n entier , alors cette double-inégalité régle définitivement le problème lorsque L=+oo ou L=-oo .

Portes-Toi Bien !!

LHASSANE