partie entiere

montrer que on a

c.a.d (l'autre notation) [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left%20[%205x%20\right%20]+\left%20[%205y%20\right%20]\geq%20\left%20[%203x+y%20\right%20]+\left%20[%20x+3y%20\right%20][/img]

***

on a x,y

younesmath2012 a écrit:

on a x,y

Tu devais faire une faute de frappe, ce n'est rien dans tout les cas, ma réponse est-elle juste ?

E(5x)=5E(x)+r et E(5y)=5E(y)+s avec (r,s) dans {0,1,2,3,4}X{0,1,2,3,4}

3E(x)+E(y)=<3x+y<3E(x)+E(y)+(3r+s)/5
E(x)+3E(y)=<x+3y<E(x)+3E(y)+(r+3s)/5

E(3x+y)=3E(x)+E(y)+u avec 0=<u=<(3r+s)/5 et u entier
E(x+3y)=E(x)+3E(y)+v avec 0=<v=<(r+3s)/5 et v entier

E(3x+y)+E(x+3y)=<E(5x)+E(5y)
si 4E(x)+4E(y)+u+v=<5E(x)+r+5E(y)+s
si u+v=<E(x)+E(y)+r+s
ce qui est vrai car u+v=<r+s et x,y>=0

EXTENSION POSSIBLE

x,y > 0 et a,b,c >0 avec a>=b+c alors E(ax)+E(ay)>= E(c x+by)+E(bx+c y)

abdelbaki.attioui a écrit:

E(5x)=5E(x)+r et E(5y)=5E(y)+s avec (r,s) dans {0,1,2,3,4}X{0,1,2,3,4}

3E(x)+E(y)=<3x+y<3E(x)+E(y)+(3r+s)/5
E(x)+3E(y)=<x+3y<E(x)+3E(y)+(r+3s)/5

E(3x+y)=3E(x)+E(y)+u avec 0=<u=<(3r+s)/5 et u entier
E(x+3y)=E(x)+3E(y)+v avec 0=<v=<(r+3s)/5 et v entier

E(3x+y)+E(x+3y)=<E(5x)+E(5y)
si 4E(x)+4E(y)+u+v=<5E(x)+r+5E(y)+s
si u+v=<E(x)+E(y)+r+s
ce qui est vrai car u+v=<r+s et x,y>=0

votre reponse Mr "abdelbaki.attioui" est logique sauf la derniere ligne qui n'est pas clair car il faut montrer que:
u+v=<E(x)+E(y)+r+s ''ce qui est vrai car u+v=<r+s et x,y>=0''
ce qui est en rouge n'est pas toujours juste !!!!!!
il faut donc MQ:u+v=<E(x)+E(y)+r+s pour que votre reponse soit complete!!!! et excuser moi!!!!

younesmath2012 a écrit:

abdelbaki.attioui a écrit:

E(5x)=5E(x)+r et E(5y)=5E(y)+s avec (r,s) dans {0,1,2,3,4}X{0,1,2,3,4}

3E(x)+E(y)=<3x+y<3E(x)+E(y)+(3r+s)/5
E(x)+3E(y)=<x+3y<E(x)+3E(y)+(r+3s)/5

E(3x+y)=3E(x)+E(y)+u avec 0=<u=<(3r+s)/5 et u entier
E(x+3y)=E(x)+3E(y)+v avec 0=<v=<(r+3s)/5 et v entier

E(3x+y)+E(x+3y)=<E(5x)+E(5y)
si 4E(x)+4E(y)+u+v=<5E(x)+r+5E(y)+s
si u+v=<E(x)+E(y)+r+s
ce qui est vrai car u+v=<r+s et x,y>=0

votre reponse Mr "abdelbaki.attioui" est logique sauf la derniere ligne qui n'est pas clair car il faut montrer que:
u+v=<E(x)+E(y)+r+s ''ce qui est vrai car u+v=<r+s et x,y>=0''
ce qui est en rouge n'est pas toujours juste !!!!!!
il faut donc MQ:u+v=<E(x)+E(y)+r+s pour que votre reponse soit complete!!!! et excuser moi!!!!

Vous n'avez pas bien lu la solution !!!

u+v=<(3r+s)/5 + (r+3s)/5= 4(r+s) / 5 =< r+s =< E(x)+E(y)+r+s

abdelbaki.attioui a écrit:

E(5x)=5E(x)+r et E(5y)=5E(y)+s avec (r,s) dans {0,1,2,3,4}X{0,1,2,3,4}

3E(x)+E(y)=<3x+y<3E(x)+E(y)+(3r+s)/5
E(x)+3E(y)=<x+3y<E(x)+3E(y)+(r+3s)/5

E(3x+y)=3E(x)+E(y)+u avec 0=<u=<(3r+s)/5 et u entier
E(x+3y)=E(x)+3E(y)+v avec 0=<v=<(r+3s)/5 et v entier
E(3x+y)+E(x+3y)=<E(5x)+E(5y)
si 4E(x)+4E(y)+u+v=<5E(x)+r+5E(y)+s
si u+v=<E(x)+E(y)+r+s
ce qui est vrai car u+v=<r+s et x,y>=0

ah bon!!! excuser moi!!! j'ai pas vu ce qui est en vert
pouvez vous expliquer pourquoi on a 0=<u=<(3r+s)/5 et u entier et 0=<v=<(r+3s)/5 et v entier
merci d'avance !!!!

E(5x)=5E(x)+r et E(5y)=5E(y)+s avec (r,s) dans {0,1,2,3,4}X{0,1,2,3,4}

===> 5E(x)+r=<5x<5E(x)+r+1 et 5E(y)+s=<5y<5E(y)+s+1

===> 3E(x)+E(y)+(3r+s)/5=<3x+y< 3E(x)+E(y)+(3r+s)/5+4/5
de même E(x)+3E(y)+(r+3s)/5=<x+3y< E(x)+3E(y)+(r+3s)/5+4/5
alors
E(3x+y)=3E(x)+E(y)+u avec 0=<u=<(3r+s)/5 et u entier
E(x+3y)=E(x)+3E(y)+v avec 0=<v=<(r+3s)/5 et v entier

En fait u= E((3r+s)/5) et v=E((r+3s)/5)
car E est croissante et E(x+n)=E(x)+n qqs x réel et n dans Z

abdelbaki.attioui a écrit:

E(5x)=5E(x)+r et E(5y)=5E(y)+s avec (r,s) dans {0,1,2,3,4}X{0,1,2,3,4}

===> 5E(x)+r=<5x<5E(x)+r+1 et 5E(y)+s=<5y<5E(y)+s+1

===> 3E(x)+E(y)+(3r+s)/5=<3x+y< 3E(x)+E(y)+(3r+s)/5+4/5
de même E(x)+3E(y)+(r+3s)/5=<x+3y< E(x)+3E(y)+(r+3s)/5+4/5
alors
E(3x+y)=3E(x)+E(y)+u avec 0=<u=<(3r+s)/5 et u entier
E(x+3y)=E(x)+3E(y)+v avec 0=<v=<(r+3s)/5 et v entier

En fait u= E((3r+s)/5) et v=E((r+3s)/5)
car E est croissante et E(x+n)=E(x)+n qqs x réel et n dans Z

POURQUOI u= E((3r+s)/5) et v=E((r+3s)/5) ? !!!

younesmath2012 a écrit:

abdelbaki.attioui a écrit:

E(5x)=5E(x)+r et E(5y)=5E(y)+s avec (r,s) dans {0,1,2,3,4}X{0,1,2,3,4}

===> 5E(x)+r=<5x<5E(x)+r+1 et 5E(y)+s=<5y<5E(y)+s+1

===> 3E(x)+E(y)+(3r+s)/5=<3x+y< 3E(x)+E(y)+(3r+s)/5+4/5
de même E(x)+3E(y)+(r+3s)/5=<x+3y< E(x)+3E(y)+(r+3s)/5+4/5
alors
E(3x+y)=3E(x)+E(y)+u avec 0=<u=<(3r+s)/5 et u entier
E(x+3y)=E(x)+3E(y)+v avec 0=<v=<(r+3s)/5 et v entier

En fait u= E((3r+s)/5) et v=E((r+3s)/5)
car E est croissante et E(x+n)=E(x)+n qqs x réel et n dans Z

POURQUOI u= E((3r+s)/5) et v=E((r+3s)/5) ? !!!

Bien vu Younes
effectivement u= E((3r+s)/5) si 3r+s=<1
3r+s+1=5q+t et r+3s+1=5q'+t' ( Division euclidienne)

==> 3E(x)+E(y)+q+(t-1)/5=<3x+y< 3E(x)+E(y)+q+1/5

==> E(3x+y)=3E(x)+E(y)+q

de même E(x+3y)=E(x)+3E(y)+q'

E(5x)=5E(x)+r et E(5y)=5E(y)+s avec (r,s) dans {0,1,2,3,4}X{0,1,2,3,4}

5E(x)+r=<5x<5E(x)+r+1 et 5E(y)+s=<5y<5E(y)+s+1

3E(x)+E(y)+(3r+s)/5=< 3x+y< 3E(x)+E(y)+(3r+s+4)/5 ---->(1)
E(x)+3E(y)+(r+3s)/5=< x+3y< E(x)+3E(y)+(r+3s+4)/5 -----> (2)

Par symétrie on suppose r=<s

si r+s=<1 ==> r=0 et s=<1
(1) ==> 3E(x)+E(y)+s/5=< 3x+y< 3E(x)+E(y)+(s+4)/5 =<3E(x)+E(y)+1
==> E(3x+y)=3E(x)+E(y)
(2) ==> E(x)+3E(y)+3s/5=< x+3y< E(x)+3E(y)+(3s+4)/5 =< E(x)+3E(y)+s+1
==> E(x+3y)=<E(x)+3E(y)+s
==> E(3x+y)+ E(x+3y)=< 4E(x)+4E(y)+s=< E(5x)+E(5y) car x,y>=0 ==> E(x) et E(y)>=0

si r+s=2
si r=0 et s=2
(1) ==> 3E(x)+E(y)+2/5=< 3x+y< 3E(x)+E(y)+6/5
==> E(3x+y)=<3E(x)+E(y)+1
(2) ==> E(x)+3E(y)+6/5=< x+3y< E(x)+3E(y)+2
==> E(x+3y)=E(x)+3E(y)+1
==> E(3x+y)+ E(x+3y)=< 4E(x)+4E(y)+2=< E(5x)+E(5y)
si r=s=1
(1) ==> 3E(x)+E(y)+4/5=< 3x+y< 3E(x)+E(y)+8/5
==> E(3x+y)=<3E(x)+E(y)+1
(2) ==> E(x)+3E(y)+4/5=< x+3y< E(x)+3E(y)+8/5
==> E(x+3y)=<E(x)+3E(y)+1
==> E(3x+y)+ E(x+3y)=< 4E(x)+4E(y)+2=< E(5x)+E(5y)

si r+s=>3
(1) et (2) ==> E(3x+y)+ E(x+3y)< 4E(x)+4E(y) +4(r+s+2)/5 =<4E(x)+4E(y)+r+s+1
==> E(3x+y)+ E(x+3y)=< 4E(x)+4E(y)+r+s=< E(5x)+E(5y)

En fait on a montré que E(3x+y)+ E(x+3y)+E(x)+E(y)=< E(5x)+E(5y)

[quote="abdelbaki.attioui"]E(5x)=5E(x)+r et E(5y)=5E(y)+s avec (r,s) dans {0,1,2,3,4}X{0,1,2,3,4}

5E(x)+r=<5x<5E(x)+r+1 et 5E(y)+s=<5y<5E(y)+s+1

3E(x)+E(y)+(3r+s)/5=< 3x+y< 3E(x)+E(y)+(3r+s+4)/5 ---->(1)
E(x)+3E(y)+(r+3s)/5=< x+3y< E(x)+3E(y)+(r+3s+4)/5 -----> (2)

Par symétrie on suppose r=<s

si r+s=<1 ==> r=0 et s=<1
(1) ==> 3E(x)+E(y)+s/5=< 3x+y< 3E(x)+E(y)+(s+4)/5 =<3E(x)+E(y)+1
==> E(3x+y)=3E(x)+E(y)
(2) ==> E(x)+3E(y)+3s/5=< x+3y< E(x)+3E(y)+(3s+4)/5 =< E(x)+3E(y)+s+1
==> E(x+3y)=<E(x)+3E(y)+s
==> E(3x+y)+ E(x+3y)=< 4E(x)+4E(y)+s=< E(5x)+E(5y) car x,y>=0 ==> E(x) et E(y)>=0

si r+s=2
si r=0 et s=2
(1) ==> 3E(x)+E(y)+2/5=< 3x+y< 3E(x)+E(y)+6/5
==> E(3x+y)=<3E(x)+E(y)+1
(2) ==> E(x)+3E(y)+6/5=< x+3y< E(x)+3E(y)+2
==> E(x+3y)=E(x)+3E(y)+1
==> E(3x+y)+ E(x+3y)=< 4E(x)+4E(y)+2=< E(5x)+E(5y)
si r=s=1
(1) ==> 3E(x)+E(y)+4/5=< 3x+y< 3E(x)+E(y)+8/5
==> E(3x+y)=<3E(x)+E(y)+1
(2) ==> E(x)+3E(y)+4/5=< x+3y< E(x)+3E(y)+8/5
==> E(x+3y)=<E(x)+3E(y)+1
==> E(3x+y)+ E(x+3y)=< 4E(x)+4E(y)+2=< E(5x)+E(5y)

si r+s=>3
(1) et (2) ==> E(3x+y)+ E(x+3y)< 4E(x)+4E(y) +4(r+s+2)/5 =<4E(x)+4E(y)+r+s+1
==> E(3x+y)+ E(x+3y)=< 4E(x)+4E(y)+r+s=< E(5x)+E(5y)

En fait on a montré que E(3x+y)+ E(x+3y)+E(x)+E(y)=< E(5x)+E(5y) /quote]

salut Mr "abdelbaki.attioui" je crois que le symbolle < n'est pas clair!!! il faut le justifier car normalement en passant a la fonction E on aura
E(3x+y)+ E(x+3y)=< 4E(x)+4E(y) +4(r+s+2)/5 =<4E(x)+4E(y)+r+s+1 donc la solution n'est pas terminé n'est ce pas MR "abdelbaki.attioui" ?

[quote="younesmath2012"]

abdelbaki.attioui a écrit:

E(5x)=5E(x)+r et E(5y)=5E(y)+s avec (r,s) dans {0,1,2,3,4}X{0,1,2,3,4}

5E(x)+r=<5x<5E(x)+r+1 et 5E(y)+s=<5y<5E(y)+s+1

3E(x)+E(y)+(3r+s)/5=< 3x+y< 3E(x)+E(y)+(3r+s+4)/5 ---->(1)
E(x)+3E(y)+(r+3s)/5=< x+3y< E(x)+3E(y)+(r+3s+4)/5 -----> (2)

Par symétrie on suppose r=<s

si r+s=<1 ==> r=0 et s=<1
(1) ==> 3E(x)+E(y)+s/5=< 3x+y< 3E(x)+E(y)+(s+4)/5 =<3E(x)+E(y)+1
==> E(3x+y)=3E(x)+E(y)
(2) ==> E(x)+3E(y)+3s/5=< x+3y< E(x)+3E(y)+(3s+4)/5 =< E(x)+3E(y)+s+1
==> E(x+3y)=<E(x)+3E(y)+s
==> E(3x+y)+ E(x+3y)=< 4E(x)+4E(y)+s=< E(5x)+E(5y) car x,y>=0 ==> E(x) et E(y)>=0

si r+s=2
si r=0 et s=2
(1) ==> 3E(x)+E(y)+2/5=< 3x+y< 3E(x)+E(y)+6/5
==> E(3x+y)=<3E(x)+E(y)+1
(2) ==> E(x)+3E(y)+6/5=< x+3y< E(x)+3E(y)+2
==> E(x+3y)=E(x)+3E(y)+1
==> E(3x+y)+ E(x+3y)=< 4E(x)+4E(y)+2=< E(5x)+E(5y)
si r=s=1
(1) ==> 3E(x)+E(y)+4/5=< 3x+y< 3E(x)+E(y)+8/5
==> E(3x+y)=<3E(x)+E(y)+1
(2) ==> E(x)+3E(y)+4/5=< x+3y< E(x)+3E(y)+8/5
==> E(x+3y)=<E(x)+3E(y)+1
==> E(3x+y)+ E(x+3y)=< 4E(x)+4E(y)+2=< E(5x)+E(5y)

si r+s=>3
(1) et (2) ==> E(3x+y)+ E(x+3y)< 4E(x)+4E(y) +4(r+s+2)/5 =<4E(x)+4E(y)+r+s+1
==> E(3x+y)+ E(x+3y)=< 4E(x)+4E(y)+r+s=< E(5x)+E(5y)

En fait on a montré que E(3x+y)+ E(x+3y)+E(x)+E(y)=< E(5x)+E(5y) /quote]

salut Mr "abdelbaki.attioui" je crois que le symbolle < n'est pas clair!!! il faut le justifier car normalement en passant a la fonction E on aura
E(3x+y)+ E(x+3y)=< 4E(x)+4E(y) +4(r+s+2)/5 =<4E(x)+4E(y)+r+s+1 donc la solution n'est pas terminé n'est ce pas MR "abdelbaki.attioui" ?

J'ai pensé que ce n'est pas la peine d'écrire ceci mais voilà

E(3x+y)+ E(x+3y)=< (3x+y)+(x+3y)< 4E(x)+4E(y) +4(r+s+2)/5 =<4E(x)+4E(y)+r+s+1

On ne passe pas par E pour garder < de (1) et (2) . La solution est achevée et s'il y en a d' autres je serais ravis de les lire

safi daba la solution est complete
bravo Mr "abdelbaki.attioui" vous avez bien detaille votre solution!!!
merci bien !!!