Un exercice de suite qui demande votre aide

Bonjour tout le monde
j'espere que je suis la bienvenue parmi vous

BJR Najlae & Bienvenue sur le Forum !!

Pour la question qui te cause des soucis .... voilà quelques éléments de réponse .

D'abord pour tout n >=1 , on a Un est dans I=]0;1[
On peut montrer que :
fn+1(x) > fn(x) pour tout x dans I
en effet , on sait que si 0<x<1 alors 0<x^(n+1)<x^n<1 d'ou
1-x-x^(n+1) > 1-x-x^n c.à.d fn+1(x) > fn(x) .
Celà étant , toutes les fonctions fn sont STRICTEMENT DECROISSANTES sur I car fn'(x)=-1-n.x^(n-1)= -{1+n.x^(n-1)} est toujours NEGATIF sur I .
Maintenant on va comparer Un+1 et Un .
Comme ils sont tous les deux dans I et que fn est strictement décroissante , il suffira de prouver que
fn(Un+1) <fn(Un)
pour conclure que Un<Un+1 ....
Or fn(Un)=0
et fn(Un+1)=1-Un+1-(Un+1)^n
et , puisque fn+1(Un+1)=0 alors 1-Un+1-(Un+1)^(n+1)=0
d'ou 1-Un+1=(Un+1)^(n+1) et de là :
fn(Un+1)=1-Un+1-(Un+1)^n=(Un+1)^(n+1) - (Un+1)^n
=(Un+1)^n.{Un+1 - 1} est NEGATIF STRICT donc on a bien:

fn(Un+1) <fn(Un) CQFD


LHASSANE

Merci j'ai presque fait la même chose , mais je savais pas qu'il fallait se limiter à l'intervalle I ..Pacque j'ai travaillé dans tout IR+ et dans [1;+00] fn(Un+1)>fn(Un)..et c'est ça qui m'a mis mal à l'aise..
Merci en tout cas !

Alors si quelqu'un pourait me démontrer l'implication je serai vraiment reconnaissante ..

Par le plus grand des hasards on est bloqués dans la même question !

Najlae a écrit:

Alors si quelqu'un pourait me démontrer l'implication je serai vraiment reconnaissante ..

BSR Najlae !!

Pour l'implication , en effet elle n'est pas facile ..... cependant il faut être astucieux et exploiter toutes les données du problème !!

On a dit que pour tout n dans IN* on a 0<Un<1
La suite (Un)n est strictement croissante et majorée donc CONVERGE vers une limite que vous appelez L .
Par passage aux limites dans les Inégalités on aura 0<=L<=1 et on peut préciser puisque U1=1/2 que 1/2<=L<=1 d'ou 0<L<=1

Maintenant , supposons que 0<L<1 alors :
Pour tout entier n on a fn(L)=1-L-(L)^n
Or si 0<L<1 on sait que L^n -----> 0+ lorsque n---->+oo
d'ou Lim fn(L)=Lim {1-L-(L)^n} = 1-L

D'autre part chaque fonction fn est strictement décroissante sur ]0;1[ et comme Un et L sont dans ]0;1[ et que Un<L alors on peut écrire fn(L)<fn(Un) (*)
maintenant on fait n ------>+oo dans (*) pour obtenir :
Lim fn(L)<=Lim fn(Un)=0
ainsi on a prouvé à la fois que :
Lim fn(L)=1-L et Lim fn(L)<=0 .

Il en résultera bien sûr que 0<=1-L<=0 d'ou L=1

LHASSANE

En tout cas , remerciement encore Lhassane ( si tu le permets biensûr ) .
Euh Non xD Effectivement on a le même professeur..seul différence : Lui dans un lycée publique et moi dans un lycée privée