Colle (MPSI)

Salut à tous

J'ai eu aujourd'hui cet exercice en colle .

Déterminer toutes les fonctions f : R ---> R dérivables

telles que : f'(x).f'(f(x))=1 , f'(0) >0 et f(0)=0

f(x)=x.

hmm mais c'est trivial,comment! je te laisse tout d'abord essayer peut être t'as une démonstration,sinon je poste la mienne!

Non non vas y! pas la peine puisque c'est trivial!!

Salam
on a : f'(x)f'(f(x))=1 équivaut à : f(f(x))=x+c
puisque f(0)=0 il vient : c=0 donc : f(f(x))=x
monrrons que f realise une bijection de R vers R:
on a lim f(f(x))=+00 qd x tend vers =+00 donc f n'est pas majorée
de meme lim f(f(x))=-00 donc f n'est pas minorée alors : f(R)=R
càd f est surjective.
soient x et y de R tq f(x)=f(y) alors f(f(x))=f(f(y)) implique x=y
donc f est injective.
d'ou la bijectivité de f cad f admet une fontion reciproque
ce qui enchaine à pour tout x de R : f(x)=f^(-1)(x)
Finalement : f(x)=x pour tout x £R
on aimerais bien voir d'autre preuve ( radouane bne et beautiful mind veuillez postez vos demo)

Lahcen BOUNADER a écrit:

Salam
on a : f'(x)f'(f(x))=1 équivaut à : f(f(x))=x+c
puisque f(0)=0 il vient : c=0 donc : f(f(x))=x

montrons que f realise une bijection de R vers R:
on a lim f(f(x))=+00 qd x tend vers =+00 donc f n'est pas majorée
de meme lim f(f(x))=-00 donc f n'est pas minorée alors : f(R)=R
càd f est surjective.

soient x et y de R tq f(x)=f(y) alors f(f(x))=f(f(y)) implique x=y
donc f est injective.
d'ou la bijectivité de f cad f admet une fontion reciproque
ce qui enchaine à pour tout x de R : f(x)=f^(-1)(x)
Finalement : f(x)=x pour tout x £R .....

BSR Lahcen !!

Merci pour ta démo !! Tu voudrais bien me donner des précisions sur ce qui est en BLEU ...
D'autre part ! Tu n'as pas utilisé l'hypothèse f'(0)>0 ??!!!

Celà prouve en tout cas que cet exo est loin d'être une trivialité et je dis celà sans arrière pensée par rapport aux déclarations de beautiful mind & Radouane !!!

LHASSANE

Oeil_de_Lynx a écrit:

Lahcen BOUNADER a écrit:

Salam
on a : f'(x)f'(f(x))=1 équivaut à : f(f(x))=x+c
puisque f(0)=0 il vient : c=0 donc : f(f(x))=x

montrons que f realise une bijection de R vers R:
on a lim f(f(x))=+00 qd x tend vers =+00 donc f n'est pas majorée
de meme lim f(f(x))=-00 donc f n'est pas minorée alors : f(R)=R
càd f est surjective.

soient x et y de R tq f(x)=f(y) alors f(f(x))=f(f(y)) implique x=y
donc f est injective.
d'ou la bijectivité de f cad f admet une fontion reciproque
ce qui enchaine à pour tout x de R : f(x)=f^(-1)(x)
Finalement : f(x)=x pour tout x £R .....

BSR Lahcen !!

Merci pour ta démo !! Tu voudrais bien me donner des précisions sur ce qui est en BLEU ...
D'autre part ! Tu n'as pas utilisé l'hypothèse f'(0)>0 ??!!!

Celà prouve en tout cas que cet exo est loin d'être une trivialité et je dis celà sans arrière pensée par rapport aux déclarations de beautiful mind & Radouane !!!

LHASSANE

je vois pas pourquoi ils ont donné f'(0)>0,cette hypothèse va nous donner f'(0)=1,mais il n'a pas d'utilité je pense.
on a f(f(x))=x==> f est une bijection et le reste comme a fait Mr.Lahcen.

BSR Hamza !!

Bien sûr !!
fof=Id sur IR implique f bijective sur IR
Celà me convient tout à fait !! MERCI BEAUCOUP.
Lahcen m'a dérouté avec ses limites en +oo et -oo .....

LHASSANE

Merci à vous aussi

alors la solution est faite sans utiliser f'(0)>0?

je vais changer un peu l'exo et proposer un autre :
trouver tous les fonctions continues f de R+ vers R+ qui verifient :

f(0)=0
et f'(x)=1/f(f(x)) pour tout x>0

beautiful mind a écrit:

Non non vas y! pas la peine puisque c'est trivial!!

je sais pas ce que tu veux dire par ça,j'ai dit juste trivial car la plupart des solutions des eq. fonc. sont f=x,et j'ai pas voulu autre chose que ça!

Je crois que la condition f ' (0) > 0 est nécessaire pour conclure

on peut en effet montrer que la seule involution strictement croissante de IR est l'identité

alors qu'il y'a une infinité d'involutions strictement décroissantes comme par exemple les fonctions : x ---> a - x avec a réel quelconque sauf erreur bien entendu

BSR Mr Elhor !

Merci beaucoup pour ces éclaircissements . En effet la condition f'(0)>0 intervient de manière cruciale pour trancher ... Celà m'a permis d'y voir plus clair et sûrement que Lahcen remettra de l'ordre dans sa Démonstration qu'il a eu le mérite de proposer .

Portez-Vous Bien !!!

LHASSANE

Bonsoir,

Effectivement il y a un passage ambigue dans la preuve de Lahcen, à savoir quand il conclut de f(x)=f^{-1}(x) que f(x)=x

Une façon de terminer l'exercice serait de faire appel au théorème de Darboux. En effet, comme f'(x)f'(f(x))=1 alors f' ne s'annule pas et garde donc un signe constant puisque f' verifie le TVI d'après Darboux. Comme f'(0)>0, alors f est strictement croissante. Si il existe un x tel que f(x)<x, alors f(f(x))<f(x), càd x<f(x) ce qui est absurde, de même si il existe un x tel que x<f(x), alors f(x)<f(f(x)) ce qui est absurde également, donc pour tout x, f(x)=x.