Nice problem !!!

Montrer que les deux entiers naturels a et b ont la meme parité si et seulement si il existe deux entiers naturels c et d tels que a²+b²+c²+1=d²

Salut,
Supposons qu'il existe c et d tel que, a²+b²+c²+1=d²
Supposons que a et sont de parité différente donc
a²+b²=1mod4
donc d²-c²=2mod4 Contradiction donc a et b sont de meme parité.
On suppose que a et b ont la meme parité donc,
Cas1: a=2x b=2y alors 4x²+4y²+(2(x²+y²))²+1=(2x²+2y²+1)² donc c=2(x²+y²) et d=2(x²+y²)+1
Cas2: a=2x+1 b =2y+1 (2x+1)²+(2y+1)²+c²+1=d²
(2x+1)²+(2y+1)²+(((2x+1)²+(2y+1)²)/2)²+1=(((2x+1)²+(2y+1)²)/2+1)².
DONE!