exo les suites

bonjours a tous
aidez moi j'ai arreté au 2 question de cet exercice
c'est le lien http://up1.pc4up.com/2009/10/Unl70359.png

zouhi a écrit:

bonjours a tous
aidez moi j'ai arreté au 2 question de cet exercice
c'est le lien http://up1.pc4up.com/2009/10/Unl70359.png

BSR zouhi !!

Je te donne la 1ère Question ......

1/ a/ : Tu calcules W(n+1) et tu trouveras que cela vaut (1/6).Wn
b/ La suite (Wn)n étant géométrique de 1er teme W0=V0-U0=2-(1/2)=3/2
et de raison (1/6) alors la formule appropriée donne :
Wn=(1/6)^n.W0=(3/2).(1/6)^n pour chaque entier n .
c/ Sn=W0+W1+........+W(n-1)
=(3/2).{1+(1/6)+(1/6)^2 +........+(1/6)^(n-1)

Or on sait que :
1+R+R^2+.......+R^k={1-R^(k+1)}/{1-R} si R<>1
démontrable par récurrence sur k .....

En faisant k=n-1 et R=1/6 , on obtiendra :
Sn=(3/2).{1-(1/6)^n=/{1-(1/6)}

Soit Sn=(9/5).{1-(1/6)^n}


LHASSANE

Bonjour.
2/ a/ Indication: montrer le résultat par récurrence (c'est facile).
b/D'après la question précédente , on a : pour tout entier naturel n,u(n+1) - un =(1/3).wn.
Remplacer wn par son expression trouvée en 1/b/,ce qui permet d'étudier le signe de u(n+1) - un et par conséquent de déterminer la monotonie de la suite (un).
c/On a: u1 - u0 =(1/3)w0
u2 - u1 =(1/3)w1
u3 - u2 =(1/3)w2
.
.
.
un - u(n-1)=(1/3)w(n-1)
En sommant ces égalités membre à membre ,on obtient:un - u0 =(1/3)Sn
d/D'après la question précédente,on a: un = u0 +(1/3).Sn.
Donc un =1/2 +(1/3).(9/5).(1 -(1/6)^n) = 11/10 -(3/5).(1/6)^n.
Par suite:l un - 11/10 l=l -(3/5).(1/6)^n l = (3/5).(1/6)^n.
Or (3/5)<1 ,donc l un -11/10 l < (1/6)^n.

BSR haiki90 !!!!

Et j'ajouterais bien une question supplémentaire pour conclure :
En déduire que (un)n et (vn)n sont CONVERGENTES et déterminer leur limite commune .
On comprendra alors l'utilité de cet exercice !!!

LHASSANE

Bonsoir Oeil_de_Lynx .
Bonsoir zouhi.

* La question 2/a/ peut être traitée sans recours au raisonnement par récurrence en faisant directement le calcul de un - u(n-1).

* Soit n un entier naturel. On a: v(n+1) - vn =(-1/2).wn (résultat obtenu par calcul direct). Or 0<wn, donc v(n+1) - vn <0 . Par suite (vn) est décroissante.
D'autre part ,(un) est croissante et lim (vn - un)=lim wn=lim(3/2).(1/6)^n=0 car l 1/6l<1.
Donc (un) et (vn) sont adjacentes et donc convergentes vers la même limite.
Le résultat du 2/d/ et lim (1/6)^n = 0 permettent d'affirmer que lim un = 11/10.