limite

Bonjour,
je suis bloquée à un exercice :

Soit f(x) une fonction définie sur [0,+\infty [ telle que lim_{x->+\infty}f^2(x)=1

a) la limite lim_{x->+\infty}f(x) existe-t-elle?
b) la limite lim_{x->+\infty}f(x) existe-t-elle si f(x) est supposée continue?

Si quelqu'un a une idée, elle est la bienvenue. merci

BJR angel52 !!

Je viens de me connecter .... et je réponds un peu à chaud .....
Je présume que ta notation f^2(x) signifie {f(x)}^2 ????
Si c'était celà , je te donne un contre exemple pour le a)
Tu prends pour f la fonction sur [0;+oo[ et qui vaut :
f(x)=1 sur [0;1[ et f(x)=-1 sur [1;2[
et que tu prolonges par 2 périodicité à [0;+oo[ tout entier ......

Il est clair que f^2(x) -----> 1 quand x------>+oo
Mais f(x) n'admet pas de limite quand x------>+oo .

Donc ton a) n'est pas toujours vrai !!!!

LHASSANE

ah oui merci, en effet c'est un bon contre-exemple

et pour le point b) ?

Salut angel52 !!

Pour le b) , celà me parait un peu difficile ..... alors laisses-moi réfléchir ..... Je te répondrais dans la journée n'importe comment !!

LHASSANE

je t'en prie, c'est bien gentil.
j'ai essayé en supposant que c'était vrai de le démontrer en partant des définitions de la limite et de la continuité mais je n'y arrive pas. je réfléchis à une autre idée également

BJR angel52 !!!

J'ai des réponses pour le b) !!
En utilisant la continuité de la fonction :
t -----------> g(t)=rac(t) de IR+ sur IR+ , on déduit des hypothèses faites sur f que Lim|f(x)|=1 quand x------>+oo
Celà étant , si in suppose de plus que f est CONTINUE alors on considère l'ensemble S défini ainsi :
S={ a dans IR+ , f(a)=0 }
Ce sous-ensemble de IR+ peut être VIDE , NON VIDE , FINI , INFINI , BORNE ou NON BORNE .
C'est à la BORNITUDE de S que l'on s'intéressera ....

1ère Possibilité : S est NON BORNE ; alors pour tout n entier non nul on pourra trouver un xn dans S tel que xn>=n
La suite (xn)n diverge et Limxn=+oo quand n---->+oo .
La suite {f(xn)}n est constante nulle et on devrait avoir
Lim|f(xn)|=1 quand n-----> +oo d'ou 0=1 Ce qui est absurde .....

CONCLUSION : S est BORNE
il existe donc M>0 tel que pour tout t dans S on ait 0<=t<M

Par suite au delà de M , la fonction f ne peut pas CHANGER de SIGNE sans quoi , le TVI impliquera qu'elle s'annulle , ce qui est IMPOSSIBLE .

Donc :
ou bien f est partout positive sur [M;+oo[ et partant
Lim f(x) =1 quand x ----->+oo
ou bien f est partout négative sur [M;+oo[ et alors Lim f(x)=-1 lorsque x -------->+oo

Et voilà tout est là !!!!

LHASSANE

merci pour ta réponse mais je ne comprends pas tout dans ta démonstration.
pourquoi tu regardes l'ensemble S ?
et la première étape :
"t -----------> g(t)=rac(t) de IR+ sur IR+ , on déduit des hypothèses faites sur f que Lim|f(x)|=1 quand x------>+oo"
tu veux dire que comme sqrt(x) est une fonction continue et que f(x) est continue alors lim sqrt(f²(x))=sqrt(lim (f²(x))=1 (pour x->+oo) ??

angel52 a écrit:

merci pour ta réponse mais je ne comprends pas tout dans ta démonstration.
pourquoi tu regardes l'ensemble S ?
et la première étape :
"t -----------> g(t)=rac(t) de IR+ sur IR+ , on déduit des hypothèses faites sur f que Lim|f(x)|=1 quand x------>+oo"
tu veux dire que comme sqrt(x) est une fonction continue et que f(x) est continue alors lim sqrt(f²(x))=sqrt(lim (f²(x))=1 (pour x->+oo) ??

BJR angel52 !

Pourquoi je considère S ?? Parceque tout simplement il me sert dans la Démo ..... Je montre que S est BORNE donc S est inclus dans [0;M[ pour un réel M>0 et par suite f ne CHANGE PLUS DE SIGNE sur [M;+oo[ . Elle restera soit positive partout , soit négative partout sur [M;+oo[.

Quand au reste , c'est tout à fait ce que tu as compris ....
g est continue sur IR+ , f^2 aussi et on applique le Théorème sur les Limites de la composée lorsque x----->+oo pour conclure que Lim |f(x)|=1 quand x ----->+oo .

LHASSANE

A propos de b), laréponse est oui.
Tout simplement, si f(x)^{2} tend vers 1 donc elle ne s'annule pas au voisinage de +infini, c-a-d sur un intervalle de type [c,+infini[, et comme f est continue elle garde donc un signe constant sur [c,+infini[. Donc, ou bien pour tout x dans [c,+infini[, f(x)>0 et dans ce cas f(x)=racinecarrée(f^{2}(x)) donc elle tend vers 1 en +infini; ou bien pour tout x dans [c,+infini[, f(x)<0 et dans ce cas f(x)=-racinecarrée(f^{2}(x)) donc elle tend vers -1 en +infini. C.Q.F.D