G roupe commutatif (1)

Soit G un groupe et f: x--->x^3 un homomorphisme. Prouvez:
a) f surjective ===> G est commutatif
b) f injective ===> G est commutatif

1-f(x)=x^3 homom de groupe surjectif montrons que G est abelien
x^3y^3=xyxyxy =>x²y²=(yx)². (1)
(xy)(xy)² =x^3y^3 => y y²x²=x²y^3 alors y^3x²=x²y^3 (2).
f surjectif alors il existe t dans G ; f(t)=x
alor xy^² =t^3y²=y²t^3 =y²x d'aprés (2)
donc xy^2=y^2 x (3).
x²y² = xy²x=y²x² (d'aprés (3)
donc x²y²=y²x² (4)
(1) et (4) => (xy)²=x²y² (5)
alors xyxy=x²y² => yx=xy et G est abelien.
2-je suis fatigué je veux dormir bonne nuit tout le monde
aissa

2)- f injective :
y(xy)^3x=(yx)^4=(yx)(y^3x^3)
==> (xy)^3=xy^3.x²
==> x²y^3=y^3.x² (*)
==> x²y^3.x^-2=y^3
==> (x²yx^-2)^3=y^3
==> x²yx^-2=y (injectivité)
==> x²y=yx²
alors (xy)^3=x^3y^3=x^3.y².y=y²x^3.y=y².x²(xy)=y²(xy)x²=(xy)(y²x²)
donc: (xy)²=xyxy=y²x²=xy²x
==> yxy=y²x ==> xy=yx.
G est bien abelien.

oui c'est bien ça selfrespect