Découpage d'un rectangle

Montrer qu'un rectangle de cotés a,b, a et b dans R, est divisible en des carrées ssi a/b est rationnel.

Je pense que la question doit etre :
Montrer qu'un rectangle de cotés a,b, a et b dans R, est divisible en
un nombre minimium finis de carrés ssi a/b est rationnel.
En d'autre termes le rectangle doit etre découpé de sorte qu'il ne reste aucune miette et je dit bien minimium
Car chaque carré peut etre divisé en 4 carrés...etc etc.. donc si on prend le minimium de nombre de carrés on aura les carrés les plus utilisables et on pourra y induire le raisonnement par absurde!

L'énoncé a mon avis doit etre ainsi:

On dispose d'une feuille A4 (le fameux rapport rac2 ) Et d'une infinité de ciseaux de toutes les tailles et aussi de mains de toutes les tailles
sachant qu'un carré ne peut etre que découpé (pourqu' on ne puisse pas le couper en des carrés plus petits ... )
Montrer qu'on peut découper une infinité de carrés de surface maximium.

(J'y travaille maintenant)

Généralisation
Montrer qu'un parallélépipède de cotés l,b,c a dans R, est divisible en des cubes ssi c²/bl est rationnel.

Bsr
b/a et a/b sont irrationelle.

Lire la solution en bas et revenir au shéma pour mieux comprendre




Div=nombre de carrés découpés
(Petite modif a et b longeur largeur on été inversé )

Merci beaucoup pour cet exo qui fait le lien entre fractions continues et découpage j'ai adoré

Jolie idée! Mais malheureusement fausse!!

Montrer qu'un rectangle de cotés a,b, a et b dans R, est divisible en
un nombre minimium finis de carrés ssi a/b est rationnel

Si vous dites que c'est faux dites moi ou ?


Noter que vos remarque sont absurdes tant qu'elle ne sont pas justifiés

Ma solution donne la condition necessaire pour que le découpage intégral au sens propre puisse se faire de maniére a que le ciseau ne découpe qu'une seule fois un carré déja découpé aprés la derniére itération de la fraction continue.
Pourquoi vous ne dites rien si il y a vraiment une faute montrez la moi ou ne me déranger pas

je ne vois pas le rapport qui lie ces deux propositions
D'ailleurs l'énoncé est bien vraie ,il suffit d'exercer un peu plus d'effort pour arriver à la solution (pas évident)

On a supposé que a/b est irrationnel et nous avons trouvé que cela équivaut a un nombre infini de carrés découpés pour arriver a un découpage complet.
Donc en toute logique si on fait (non de l'expression )on aboutit a si a/b rationnel alors cela équivaut a un nombre finisde carrés découpés pour arriver a un découpage complet.


Voila le rapport entre les deux


Une facon analogue mais non générale serait de travailler avec des fractions continues de nombre rationnel (Un théoréme sur ce sujet nous donne que celle ci s'arrette au bout d'un nombres précis itération) cela nous donnerait un nombre finies de carrés découpés.

Moskovit c'est ce que vous qualifier de faute ?

slt!

dsl pour mon intervention....

supposons que le carré est divisible dans tt les cas infiniment.. alors meme si tu prend a/b n'appartient pas à Q alors tu trouves le meme resultat ... ,c pour ca que l'absurde ici crée une obscurité(je pense!).

C'est pour ca qu'il faut bien comprendre l'utilité de la fraction continue si la fraction stoppe on ne peut en découper de carrés car tsalaaw les petits carrés et notre ciseau infinitésimal n'as plus rien à découper...
une petite faute que je viens de remarquer c'est pas l'absurde mais juste nafiy oooops

Le rectangle perelman EST toujours découpable en une infinité de carrés de moindre surface; si le rapport a/b est rationnel alors il existe un nombre D_n telque dn puisse découper le rectangle entiérement en carré de surfaces maximales.
On arrive a ce nombre D_n sauf si le rapport est rationnel

Je pense que mtnt il ne me reste plus rien à dire c'est certain ..à mon avis ;-)

slt , je crois qu'il y a un probleme dans cet enoncé ;
le rectangle d'or (rectangle de cotés a et b a>b tel que a/b=phi et phi racine positive de x²-x-1) peut etre obtenu en commencant par un carré de 2 carrés de coté 1 mis l un à coté l autre et de coller avec eux un carré de coté 2 , puis 3 , 5 , 8 , 13 ...ect
en procedant ainsi on obtient un rectangle dont le rapport des cotés :



et phi est biensur irrationel.

(sauf erreur bienentendu !)

Memath l'énoncé est faux c'est ce que je pense aussi le rectangle d'or présente un cas particulier ma méthode pour chaque nombre irrationnel on aura une infinité de carré !

Bon,je vois qu'il faut mettre un peu d'ordre car je vois bien que des personnes se sont allés plus loin hors du sujet et n'ont pas compris ce qu'il faut faire.
Découpons l'énoncé en carrées pour qu'il soit évident à comprendre.
On découpe un rectangle en carrés .
Si le découpage se termine après un nombre fini =>le rapport des longueurs du rectangle doit être rationnel.
Donc
si a/b est rationnel,en utilisant la méthode des fractions continues nous montrons que le découpage se termine avec un pgcd(a,b) de carrés (le plus petit carré qu'on trouve).
Mais,
Si on découpe un rectangle en nombre fini de carrés cela ne veut pas dire qu'on doit le découper seulement par la méthode de notre ami moumen.
On peut le découper de la façon de notre ami bien sûr,comme on peut le découper de la façon suivante:

[img][/img]

et ceci:

[img][img][/img][/img]

Donc ,découper le rectangle seulement par une seule méthode ne veut pas dire qu'on ne peut pas le découper avec d'autres méthodes.
Quand au rectangle d'or ,le découpage du rectangle en carré est infinie(dans le cas contraire donner un exemple).
La résolution du problème demande l'utilisation d'autres méthodes efficaces que celui de la fraction continue.
A bientôt

Oui je vois mais j'ai pas resisté a l'appel des fractions continues j'y peux rien
Merci pour la remarque en tous cas .

oui si le decoupage est fini vous avez raison , mais dans le cas de votre probleme le mot fini ne figure pas dans son enconcé , tachez de donner les énoncés correctement pour éviter toute confusion.
et merci

Merci pour la remarque,
je m'excuse de l'oubli du mot oublié "fini" ;je l'ai pas remarqué.
Bonne chanse