calcul de f(1/7)

soit a appartenant à ]0,1[
et f une fonction définie sur [0,1] comme suit:
f((x+y)/2)=(1-a).f(x)+a.f(y) pour tout (x,y) dans [0,1] et x<y
f(0)=0;f(1)=1
Calculer f(1/7) (en chiffres)

moskavit a écrit:

soit a appartenant à ]0,1[
et f une fonction définie sur [0,1] comme suit:
f((x+y)/2)=(1-a).f(x)+a.f(y) pour tout (x,y) dans [0,1] et x<y
f(0)=0;f(1)=1
Calculer f(1/7) (en chiffres)

Soit v=f(1/7)

x=0 et y=2/7 ==> f(2/7)=v/a
x=0 et y=4/7 ==> f(4/7)=v/a^2
x=1/7 et y=1 ==> v/a^2=(1-a)v+a et donc v=f(1/7)=a^3/(a^3-a^2+1)

f(1/7)=1/7 (calculer a)

OK :
Soit v=f(1/7)

x=0 et y=2/7 ==> f(2/7)=v/a
x=0 et y=4/7 ==> f(4/7)=v/a^2
x=1/7 et y=1 ==> v/a^2=(1-a)v+a et donc v=f(1/7)=a^3/(a^3-a^2+1)

La fonction a^3/(a^3-a^2+1) est injective sur (0,l'énoncé nous indique que a ne peut prendre qu'une seule valeur.

Comme il existe une solution pour a=1/2 (f(x)=x), a ne peut donc valoir que 1/2. D'où f(1/7)=1/7

c'est bien;Une autre solution simple consiste à calculer:
x=1/2,y=1=>f(1/4+1/2)=(1-a)a+a (f(1/2)=a)
a=f(1/2)=f((1/4+(1/2+1/4))/2)=(1-a).f(1/4)+a.f(1/2+1/4)
=(1-a)a²+a[(1-a)a+a]
cela conduit à 2a²-3a+1=0=>a=1/2