urgent

Salut
Démontrez que: lim ( ln(1-x)+x)/x2)=-1/2
0

je précise x tend vers 0

1- On considere les deux fonctions suivante sur l'intervale [-1,1]

g(x) = ln(1-x)+x+ (x²/2)
h(x) = ln(1-x)+x+(x²/2)+(x^3 /3)

2 - Etudier les veraitions des deux fonction g et h sur l'intervale
[-1, 1]

3 - Conclure que
quelque soit x € [-1,1] :


-x/3 -1/2 < (ln(1-x)+x / x²) < -1/2
4 - Deuduire que la limitte

excuse-moi mais je n'ai pas bien compris comment faire des variations jusqu'à la déduction.

1- Pour x € ]-1,1[ :

g'(x) = (-x²/ 1-x) ---> tableau des variation g admet un max en x=0

cad g(x) < g(0) =0 ---> (1) ln(1-x)+x < -x²/2

de meme :

h'(x) = -x^3 / 1-x ---> h ademet un min en x =0 cad

h(x) > h (0) = 0 ----> (2) ln(1-x)+x > -x²/2 - x^3/3

donc de (1) et (2) on deduit :

x/3 -1/2 < (ln(1-x)+x / x²) < -1/2


on a lim x/3 -1/2 = -1/2
donc " thereme de sandwiche !! "


lim (ln(1-x)+x / x²) = -1 /2 (x-->0)

Merci bien! c'est plus clair