Pour ceux Qui aiment les défis !!!

voici deux questions qui m'ont causé des maux de tête , si ça vous tente essayez de m'aidez à les résoudre;

On considère le polynôme: T(z) =An.z^n+A(n-1).z^(n-1)+........A0
Tel que Ai appartient à C pr tout i de {1,2,.....n)
Soit z1 , z2 ,.....,zn les solutions de l'équation T(z)=0
Démontrez que Sigma (k allant de 1 jusqu'à n) zk=-A(n-1)/An

On considère le polynôme
P(z)=2. Sigma ( k allant de 0 jusqu'à p) (2p+1)!/(2p+1-2k)! 2k!.z^k.(i)^2p+1-2k

Soit z1, z2,.....zn les solutions de l'équation P(z)=0
Démontrez que :Sigma (k allant de 1 jusqu'à p) zk= p(2p-1)/3

BSR intello !!
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Maintenant et pour revenir à ton problème :
On suppose an <>0 pour avoir un polynôme de degré n .On sait que T(X) admet dans C exactement n racines ( chaque racine étant comptée autant de fois que son ordre de multiplicité ).
On sait aussi que l'on peut factoriser T(X) sous la forme :
T(X)=An.(X-z1).(X-z2).(X-z3) .......... (X-zn)
=An.X^n+A(n-1).X^(n-1)+ ........ +A1.X+Ao

Il te suffira de déterminer le coefficient de X^(n-1) dans chaque membre et d'égaliser les résultats obtenus et tu trouveras .......
A(n-1)=-An.{z1+z2+ ........ +zn}.

Pour la deuxième question , je la trouve confuse .... il manque apparemment des choses ...... relis-toi et tu verras !!

LHASSANE

Il te suffira de déterminer le coefficient de X^(n-1) dans chaque membre et d'égaliser les résultats obtenus et tu trouveras .......
A(n-1)=-An.{z1+z2+ ........ +zn}.

J'ai pas compris ce que vous avez fait dans ce passage veuillez clarifier Svp

BJR intello !!

Ona :
T(X)=An.(X-z1).(X-z2).(X-z3) .......... (X-zn)
=An.X^n+A(n-1).X^(n-1)+ ........ +A1.X+Ao

Tu vas développer l'expression :
T(X)=An.(X-z1).(X-z2).(X-z3) .......... (X-zn)

Il va te falloir prouver que :
T(X)=An.X^n - {z1+z2+......+zn}.An.X^(n-1)+ ......+Co.

et tu vas écrire que le coefficient de X^(n-1) dans cette expression développée est égal à celui de
T(Z)=An.X^n+A(n-1).X^(n-1)+ ........ +A1.X+Ao

et donc tu auras A(n-1)=-An.{z1+z2+ ........ +zn}.

LHASSANE

Re-BJR intello !!

Pour t'aider à établir :
<< Il va te falloir prouver que :
T(X)=An.X^n - {z1+z2+......+zn}.An.X^(n-1)+ ......+Co >>

Je te propose cet exo :

Soit (zk)k une suite nombres réels indéxée sur IN*
Pour k entier , on pose Sk=z1+z2+ ...... +zk
Prouver par récurrence sur k que l'on a :
(X-z1).(X-z2) ......... (X-zk)=X^k - Sk.X^(k-1) + ..... +Ck
avec Ck réel.

LHASSANE

Bonjour LHASSANE!
Je vous remercie pour votre aide, j'ai bien compris ce qu'il faut faire , et j'ai également réussis à faire l'exo proposé, je n'avais pas pensé à cet astuce ! c'est formidable :d:d

Pour le deuxième exo que j'ai proposé il n'y a absolument rien qui manque, c'est peut être juste à cause de l'écriture signale moi juste ou se trouve la confusion !
Merci encore ^^

ReBonjour !
C bon j'ai fait le deuxième exo, c'est le même principe du premier , il me fallait juste une petite indication !
merci bcp ^^

Il est facile de voir qu'on a de manière générale :

On voit mieux que la somme des solutions est le coefficient de z^n-1

c'est Viéte ...

Moncefelmoumen a écrit:

c'est Viéte ...t'as oublié le coeff de x_n t(z)=a_n*(blablabla) Corrige!

C'est fait, sinon je ne savais pas que c'était aussi Viéte (c'est un résultat qu'on trouve facilement en bricolant avec les facteurs), tout ce que je savais de Viète c'est que ce produit est égale à la somme des (-1)^k .Sk. z^(n-k) où Sk est la somme des possibilités de regrouper k facteurs zi parmi n facteurs zi.

Thalès a écrit:

Il est facile de voir qu'on de manière générale :

On voit mieux que la somme des solutions est le coefficient de z^n-1

Salut!
Ouais c'est assez pratique , on économise comme ça l'effort de le démontrer par récurrence, fallait juste un peu bricoler pour trouver cette formule !!