suites intéressantes

voici un exo intéressant:

MQ les suites (an) et (bn) définies par:
an= sin(n) et bn= cos(n) n'ont pas de limite quand n tend vers +l'inf

la bornétude de (an) t (bn) impliauqe si la limite existe alors ne tend pas vars l'infini
d'une autre supposons l'existance de lim an = l et lim bn = l'

alors resoulution par absurde!

utiliser le fait que b(n+1) = cos(1)bn - sin(1) an

et a(n+1) = cos(1)an + sin(1)bn

et a(n+1)-->l et b(n+1)-->l' ....

bon courage

l'absurde supponse que an=L
considere an=npi+1
bn= npi
à toi de jouer

Bonjour ;

wagshall >> il y'a un petit problème logique dans ton raisonnement :

la négation logique de l'énoncé << an et bn n'ont pas de limite >> est << an ou bn admet une limite >> sauf erreur bien entendu

saluut tt le monde
on a cos(n) est une fonction peridique non-constante
==> il existe a et b tel que cos(a)#cos(b)
on considere Vn=a+2npi et Un=b+2npi
cos(a)=cos(Vn) et cos(b)=cos(Un)
lim Un=limVn=+oo
on supose lim cos(n)=L
==> limcos(Un)=limcos(Vn)=L
==> limcos(a)=limcos(b)=L
==> cos(a)=cos(b) alors voilà la contarduction on a cos(a)#cos(b) mais on trouve que cos(a)=cos(b)
==>cos(n) n'admet pas de limite quand n tend vers +l'inf

meme methode pour sin

yugayoub >>

je vois que tu commets la même erreur que aimad , lui en introduisant les deux suites an=npi+1 , bn=npi et toi les deux suites Un=b+2npi , Vn=a+2npi

et l'erreur vient du fait qu'il n'est pas garanti du tout que ces suites prennent des valeurs entières pour pouvoir dire par exemple que les suites

cos(an) , cos(bn) , cos(Un) ou cos(Vn) sont extraites de la suite cos(n) et tendent par conséquent vers la même limite que cette suite

Je pense que la meilleure méthode ça serait de supposer que lim cos(n)=L (puisque si la limite existe ça ne peux être qu'un réel L tel que |L|<1) et on utilise la définition de la lim quand n->+oo en essayant de trouver une contradiction.

Il faut utiliser la notion de limite :
(\-/ à>0)(il Existe N £ lN)(\-/n £ lN)
n>N => |Un - L|<à
Avec -1=<L<=1
En admettant que Un et Vn admettent une limite , on trouve une contradiction dans les inégalité du sinus et du cosinus. Du moins , il me semble ...
N'est ce pas ?

pour montrer que sin n'admet pas de limite en générale quand x->+00. :

la meilleur facon est de considerer la fonction

on montre qu'il n'accepte pas de limite lorsque x-->0.
et ces deux suites:





ils convergent les deux vers 0. mais sin(x_n)=0 et sin(y_n)=1.

l'unicité de la limite montre la contradiction.

Il y a quand même une différence entre x->+oo où x€R et n->+oo où n€N, ici on a n€N, d'ailleurs remarque si x->0 tu parle forcément des réels car n qui est un entier ne peux pas être au voisinage de 0 puisque les voisins de 0 ne sont pas des entiers, c'est pour ça aussi qu'on ne parle que de limites en +oo lorsqu'il s'agit des suites...

j'ai proposé cette méthode pour montrer qu'il n'existe pas de limite pour sin(x) quand x-->+00.(il na pas une relation avec a_n).
c juste une addition puisque on parle de +00 et de sin(...) ^^.

Lol, je pensais que tu répondais de façon directe à la question posée xD

Supposons (par l'absurde) que sinn --- > a£IR quand n ---> +oo

alors sin(n+2) - sinn ---> 0 et sin(n+2) + sinn ---> 2a

ce qui s'écrit aussi cos(n+1)sin1 ---> 0 et sin(n+1)cos1 ---> a

et comme sin1 # 0 on aurait simultanément cos(n+1) ---> 0 et sin(n+1) ---> 0

ce qui est bien entendu absurde vu que cos²(n+1) + sin²(n+1) = 1 pour tout n sauf erreur bien entendu