Question n°10: Courbes du plan

1) Soit M(t)=(x(t),y(t)) l'équation paramétrique de la courbe C.
Domaine :
D=IR\{-1}.
Pour t€D\{0}, 1/t€D: M(1/t)=(y(t),x(t)) . Donc la droite d'équation : y=x est un axe de symétrie de la courbe. Il suffit alors de faire l'étude sur ]-1,1].
Variations:
Soit t€]-1,1],
x'= (1-2t^3)/(1+t^3)²
y'= t(2-t^3)/(1+t^3)²
Pour t=1,
y'/x'(1)= -1 ==> la tangente au point (1/2,1/2) est de pente -1
Pour t=0,
y'(0)=0 et x'(0)=1 ==> tangente horizontale au point (0,0).
Pour t=(0.5)^(1/3),
y'(t)#0 et x'(t)=0 ==> tangente verticale au point M(t)
Branche infinie
en t -->-1+ . On vérifiera que la droite d'équation y+x=1/3 est une asymptote à la courbe quand t-->-1+
Tracé


2) Soit ax+by+c=0 l'équation d'une droite D du plan. DnC a pour équation
at+bt²+c(1+t^3)=0. Cette équation admet 3 solutions t1,t2,t3 au plus en divisant par c non nul. t^3+bt²/c+at/c+1=0 (*). La relation t1t2t3+1=0 est indépendante de la droite D et elle est une condition nécessaire pour que M(t1), M(t2) et M(t3) soient alignés.
Réciproquement, Soient M(t1), M(t2) et M(t3) 3 points de C tels que t1t2t3+1=0 La droite M1M2 recoupe C en un point M(s) car M1 et M2 € (M1M2)nC donc l'équation (*) admet 2 solutions réelles et par conséquent la 3éme solution est aussi réelle. On a t1t2s+1=0 alors s=t3. Donc, M(t1), M(t2) et M(t3) sont alignés.

3) et 4) Si T est la droite tangente en M(t), on a : l'équation (*) admet une racine double t=t1=t2. N(s)€TnC ssi t²s+1=0
Donc, s1s2s3=(-1/t1)²(-1/t2)²(-1/t3)²=-1 car t1t2t3+1=0. Par suite, N(s1), N(s2) et N(s3) sont alignés.

Soit (C) l'arc paramétré:

x=t/(1+t^3) ; y=t²/(1+t^3)

1) Construire (C).
2) A quelle condition trois points M_1(t_1) , M_2(t_2) et M_3(t_3) de (C) soit-ils alignés?
3) La tangente en un point M(t) de (C) recoupe (C) en N(s). Calculer s en fonction de t.
4) En déduire que les M_i sont alignés ssi les N_i le sont.