Help --- P'tit exoOo0

Salam Alikoum !
J'aurais vraiment besoin de votre aide :
Considèrons f la fonction numérique défint Sur IR*+ :
f(x)=x+Lnx
1-Montrer qu'il existe unique x(n) appartenant à IR*+ tel que f(xn)=n (C'est Résolu)
2-a-Calculer x1
B-Etudier les variations de (x(n)) (Suite)
c-Calculer lim( xn )
4-Etudier le signe de f(n)-n puis en déduire que pr Tout n de IN* x(n)=<n
5-Montrer que pr tout n de IN n-Ln(n) =< x(n)
6-a-Montrer qu'on peut crire x(n) sous forme de x(n)=n(1+a(n))b-Calculer Lim an en dduire Lim(x(n)+Ln(n)-n)
Bah à partir de 2 Merci de m'aider ..C'est urgent !

Je pense que ta fonction est normalement fn(x) (n en indice), car si xn est un unique et qu'il y a x1;x2;...;xn, il doit y avoir n fonction f(x).

pour la question 1 f(x(n))=n pas Zéro ! c'est ce donné je crois qui va introduire la fonction f(xn) ..

C'est comme ca L'ecercice je doutais qu'il ya une faute !
Pour la remarque de Yassino oui c'est vrai faute de Clavier !
Merci d'avance ..

salam

1) a- résolu

2) a- on remarque : 1 + ln(1) = 1 , d'après l'unicité : x1 = 1
b- d'après 1) f est strict. croissante

Or f(x1) = 1 et f(x2) = 2 ===> x1< x2

raisonnons par récurrrence

supposons que pour n=p , x(p) < x(p+1)
montrons que : x(p+1) < x(p+2)

f encore strict. croissante :
f(xp) < f(x(p+1)) ====> CQFD

la suite est alors strictement croissante

c- xn = f^(-1) (n) , d'après 1) limf (en +inf) = +inf

===> lim (xn) = lim f^(-1) (n) = +inf

4) f(n) - n = ln(n) >= 0 car n >= 1

f(xn) = n ===> f(n) - f(xn) >= 0 ===> f( xn) < f(n)

f croiss. ===> xn < n.

5) a- xn - ln(xn) = n
donc xn = n + ln(xn) = n - ln(n) + ln(xn) + ln(n) >= n - ln(n)

b- xn = n + ln(xn) = n.[ 1 + ln(xn) / n]

on pose alors a(n) = ln(xn) / n

0 < a(n) < ln(n) / n =====> lim a(n) = 0

lim xn + ln(n) - n = ?????????