e n'est pas quadratique !

Définition:Un nombre irrationnel r est dit quadratique s'il existe des entiers a, b, c, avec ac # 0 tel que ar² + br + c = 0 .

Question : montrer que e n'est pas quadratique.

Déjà postée

Alaoui.Omar a écrit:

Définition:Un nombre irrationnel r est dit quadratique s'il existe des entiers a, b, c, avec ac # 0 tel que ar² + br + c = 0 .

Question : montrer que e n'est pas quadratique.

supposons qu'il existe a,b et c avec ac#0 et ae²+be+c=0

on definit f(x)=ae^x+ce^-x

donc f(1)=-b € Z

l'egalité de taylor lagrange montre qu'il existe p€ ]0,1[ tel que :

f(1)=f(0)+f'(0)+...+f^{n-1}(0)/(n-1)!+f^{n}(p)/n!

on a f^{k}(0)=a+(-1)^kc € Z

donc f^{n}(p)/n=(n-1)!f(1)-(n-1)!f(0)-...-f^{n-1}(0)€ Z

mains f^{n}(p)/n tend vers 0 quand n tend vers l'infini.
donc à partir d'un rang N la suite (f^{n}(p)/n) stationne en 0.
donc pr tt n>=N ae^p+(-1)^nce^{-p}=0 donc ac(-1)^n =<0
donc a=c=0 et puis b=0 d'ou la contradiction.

memath a écrit:

Alaoui.Omar a écrit:

Définition:Un nombre irrationnel r est dit quadratique s'il existe des entiers a, b, c, avec ac # 0 tel que ar² + br + c = 0 .

Question : montrer que e n'est pas quadratique.

supposons qu'il existe a,b et c avec ac#0 et ae²+be+c=0

on definit f(x)=ae^x+ce^-x

donc f(1)=-b € Z

l'egalité de taylor lagrange montre qu'il existe p€ ]0,1[ tel que :

f(1)=f(0)+f'(0)+...+f^{n-1}(0)/(n-1)!+f^{n}(p)/n!

on a f^{k}(0)=a+(-1)^kc € Z

donc f^{n}(p)/n=(n-1)!f(1)-(n-1)!f(0)-...-f^{n-1}(0)€ Z

mains f^{n}(p)/n tend vers 0 quand n tend vers l'infini.
donc à partir d'un rang N la suite (f^{n}(p)/n) stationne en 0.
donc pr tt n>=N ae^p+(-1)^nce^{-p}=0 donc ac(-1)^n =<0
donc a=c=0 et puis b=0 d'ou la contradiction.

toujours de l'innovation .
a vrai dire la solution est tres belle mr abdelbaki,mais pour voir les choses en haut ,e est transcendant.

Ce ci reste-t-il vrai pour chaque polynôme R^n ??
P(x)=sum(k=1 jusqu'à n)ai.x^i avec Prod( k=1 jusqu'à n) ai#0

codex00 a écrit:

Ce ci reste-t-il vrai pour chaque polynôme R^n ??
P(x)=sum(k=1 jusqu'à n)ai.x^i avec Prod( k=1 jusqu'à n) ai#0

Oui !! à coefficient entier et il suffit seulment que a_n soit different à 0 ( e est transcendant)

Merci pour les participations !!