Exercices Trigo !! Prière de m'aider !!

A + B + C = 180
Montrer que :

SinA/2 * SinB/2 * Sin C/2 <= 1/8

CosA/2 * Cos B/2 * CosC/2 <= 3Racine3/8

CosA + CosB + Cos C <= 3/2

tan²A/2 + tan²B/2 + tan² C/2 supérieur ou égal à 1

Merci D'avance !

thanks a lot

sALAM hanaa 1993 (Bienvenue)
* cosa+cosb+cos c =<3/2
on a cosa+cosb+cosc=cosa+cosb+cos(pi-(a+b))
=cosa+cosb-cos(a+b)
=cosa+cos-(cosa.cosb-sina.sinb)
=cosa+cosb-cosa.cosb+sina.sinb
=cosa(1-cosb)+cosb +sina.sinb
donc il suffit de montrer que : cosa(1-cosb)+cosb +sina.sinb=<3/2
on sé que (a²+b²)/2 >=ab
donc
cosa(1-cosb)=<((cos²a+(1-cosb)²)/2 *
sin a .sinb=<(sin²a+sin²b)/2 **
cosb=2cosb/2 ***
en sommant * et** et *** ==> résultat voulu
donc cos a +cos b +cos c =<3/2
Dsl jé po le temps pour les autres..
A+

C'est Cos(Pi-(a+b)) Non ?

Oué faute de frappe ^^

deuxieme methode pour prouver que cosA+cosB+cosC=<3/2:
la fonction cos ni convex ni concave sur [0,pi]
on peut supposer que A>=B>=C
* si A>=pi/2
alors la fonction cos et concave sur [o,pi/2]:
alors par jensen on aura: cosA+cosB+cosC=< 3 cosA+B+C/3
=3cos pi/3=3/2
** si A<pi/2
c=<b=<pi/2
donc apres jensen cosB+cosC=< 2 cos (B+C/2)=2 sin A/2
cosA+cosB+cosC=< 2 sin A/2 +cosA =1-2sin² A/2 +2sin A/2
= -2(sin(A/2)- 1/2)² +3/2=< 3/2
d'ou la conclusion ........
A+

c la solution présentée dans le livre de Pierre Bronztein
mais je crois que ma solution est plus convenable a notre niveau ...

1)
SinA/2 * SinB/2 * Sin C/2 <= 1/8
<=> 4sin²(A/2)*4sin²(B/2)*4sin²(C/2)<1
on remarque que : a²=b²+c²-2bc.cosA (alkaxi)
alors cosA=(b²+c²-a²)/2bc
on a 4sin²(A/2)=2-2cosA=[a²-(b-c)²]/bc
alors il faux démontrer que :
[a²-(b-c)²]/bc*[b²-(a-c)²]/ac*[c²-(b-a)²]/ab < 1
<=>
[a²-(b-c)²]*[b²-(a-c)²]*[c²-(b-a)²] < a²b²c²
Ce qui est juste (on a² -(b-c)²<a² )

pour la premiere on a sinAXsinBXsinC<=8 et on sait bien que sin est inferieur a 1 alors on peut conclure que sinA/2xsinB/2xsinC/2<= 1/8

a mon avis hanaa pour la deuxieme on fait la meme technique que j'ai fait pour sin mais on 1/8 inferieur a 3racine3/8 donc on peut conclure que le tt est inferieur a 3racine3/8

mohe t co?