demande d'aide urgeeeeeeeeent svp !!!

1)
Soit un nombre impair.
On peut attester qu'il existe un tel que (compte tenu de l'imparité de y)
D'où :
Le produit de deux entiers qui se suivent est pair.
D'où : , ou

2)
Montrons que
Si x est pair, ou y est pair, la propriété est immédiatement vérifiée.
Supposons donc que x et y sont impairs.
Ainsi, et d'après 1).
D'où : , et la conclusion s'ensuit.

2)
Montrons que
Si ou , la propriété est immédiate.
Supposons donc que et .
Quatre cas s'offrent à nous : soit , soit , soit , soit .
Par symétrie des rôles, on peut se suffire à n'étudier que le premier, le deuxième et le quatrième cas.
* Si
Alors, on peut facilement prouver que :

La propriété s'ensuit.
* Si
On peut prouver également que :

Et la propriété s'ensuit.
* Si [img]
Alors, on peut, d'une manière tout à fait similaire, prouver que :

Et la propriété s'ensuit.

Conclusion :
La propriété est vraie dans tous les cas.

3)
Soit
Si , le reste est clairement nul.
Si , le reste vaut 2.
Si :
* Si n est pair :



D'où :
* Si n est impair :



D'où :