Montrer une inégalité.

Soit a, b et c des réels positifs.

Montrer que : a^3+b^3+c^3>=3abc.

très facile ¨^^
<==> 1/2(a+b+c)((a-b)²+(b-c)²+(a-c)²) >=0

Merci.

Je peux savoir, s'il te plaît, quelle inégalité, (forme générale) on utilise dans ce genre d'exercices ?

non là je n'ai pas utilisé une inégalité spéciale: l'inégalité que tu nous a proposé s'écrit comme cela X^3+Y^3+Z^3 - 3XYZ=1/2(a+b+c)((a-b)²+(b-c)²+(a-c)²) qui est >= 0 donc l'inégalité est juste!

voici la forme general: I.A.G (inegalités entre la moyenne arithmetique et geometrique)

Merci à tous les deux.

La première méthode n'est pas facile à deviner et, si l'on veut développer le tout (ou factoriser, dans l'autre sens) pour faire une démonstration convaincante, il nous faudra plusieurs lignes (sans sauter d'étapes). Par contre, elle n'est pas du tout hors programme !

La deuxième tient en une ligne mais, est-il permis d'utiliser des inégalités et autres théorèmes hors programme ?

Aux Olympiades, on peux utiliser ce genre d'inégalités comme I.A.G, Cauchy-Schwartz, Chebychev etc...même s'ils sont tous hors programme.
Par contre si tu as ce genre d'inégalités à prouver dans un DS à l'école, il faudra bricoler avec les trucs standards de collège pour les prouver.

Voici une autre inégalité se basant sur la tienne:
Démontrer que pour chaque a,b,c>0
(a+b+c)^3 >= 27abc.
Bonne chance.

Par I.A.G on a:
(a+b+c)/3>=(abc)^(1/3)
don puisque les deux parties de cette inégalité sont positives, on peut tout elever au cube , donc:
[(a+b+c)/3]>=[(abc)^1/3]^3=abc
soit: [(a+b+c)^3]/27>=abc
donc en multipliant par 27 on obtient:
(a+b+c)^3>=27abc
CQFD

Il existe deux autres solutions sans utilisation des théorèmes.
Pour ta solution, je ne peux pas juger car je ne sais pas comment appliquer I.A.G, peux-tu m'éclairer.

Une autre question:
En utilisant : a^3+b^3+c^3>=3abc.
Montrez que (a^2+1)/b + (b^2+1)/c + (c^2+1)/a >=6.
Bonne chance.

si vous ne connaissez pas I.A.G renseignez vous en

nmo a écrit:

Voici une autre inégalité se basant sur la tienne:
Démontrer que pour chaque a,b,c>0
(a+b+c)^3 >= 27abc.
Bonne chance.

En se basant sur la mienne, comme tu dis :
On a la mienne : A^3+B^3+C^3>=3ABC
On pose : a=A^3, b=B^3 et c=C^3
Donc : a+b+c>=3RACINECUBIQUE(abc)
a, b et c sont positifs (on le sait déjà)
On lève au carré et c'est CQFD

nmo a écrit:

Une autre question:
En utilisant : a^3+b^3+c^3>=3abc.
Montrez que (a^2+1)/b + (b^2+1)/c + (c^2+1)/a >=6.
Bonne chance.

(a^2+1)/b + (b^2+1)/c + (c^2+1)/a >=2a/b +2b/c +2c/a
>=2(a/b+b/c+c/a)
>= 2.3=6 (a^3+b^3+c^3>=3abc..)

Les questions que vous êtes entrain d'avancer sont des applications directs d'I.A.G, je vous conseille de comprendre le principe et de l'appliquer ensuite dans la résolution d'inégalités
En utilisant I.A.G, je peux vous proposer de démontrer :
(x+y+z)(xy+yz+zx)>=9xyz (tel que x;y;z>0)
Déjà c'est facile de le démontrer puisque c'est aussi du Cauchy-Schwartz :
<=> (x+y+z).xyz(1/x+1/y+1/z)>=9xyz
<=> (x+y+z)(1/x+1/y+1/z)>=9 (xyz>0)

@Thalès :

Pourrais-tu nous faire un petit cours sur ces deux inégalités particulièrement efficaces, s'il te plaît ?

Bon déjà pour I.A.G le principe est assez simple :
(x1+x2+...+xn)>= n . rac nième de (x1.x2....xn)
ce qui donne pour n=3 par exemple :
a+b+c>= 3 racine cubique de abc, et si tu élève au cube ça te donne : (a+b+c)^3>=27abc (c'est ce que vous avez déjà vu)
Pour l'inégalité que j'ai proposé c'est le même principe, tu as aussi :
ab+bc+ca>3 rac cubique de (a²b²c²) (car ab.bc.ca=a²b²c²)
et puisque a+b+c>=3 rac cubique de (abc)
Si tu fais le produit de ces deux inégalités :
(ab+bc+ca)(a+b+c)>9 rac cubique de a^3b^3c^3 = 9abc
Et pour cauchy schwartz c'est aussi simple il suffit de voir la relation pour bien la saisir.

Merci, Thalès.

Voici la première méthode:
Remarquons que: (a+b+c)^3= a^3+b^3+c^3+ 3( a²b+a²c+b²c+ab²+ac²+bc²)+6abc (*)
Sachant que pour chaque réels x et y x^2+y^2>=2xy.
Donc:
a²b+bc²>=2rac(a²b)*rac(bc²)= 2abc.
a²c+b²c>=2rac(a²c)*rac(b²c)= 2abc.
ab²+ac²>=2rac(ab²)*rac(ac²)= 2abc.
Alors 3(a²b+a²c+b²c+ab²+ac²+bc²)>= 18 abc.
Donc 3(a²b+a²c+b²c+ab²+ac²+bc²)+6abc>= 24abc (**)
Et on a a^3+b^3+c^3>= 3abc (***)
En déduisant de (*) et (**) et (***)
On trouve a^3+b^3+c^3+3(a²b+a²c+b²c+ab²+ac²+bc²)+6abc >= 27abc.
Soit en résumé: (a+b+c)^3>= 27abc.

Voici la deuxième méthode:
On a: (a+b+c)²>=3(ab+ac+bc)
Donc (a+b+c)^3>=3(a+b+c)(ab+bc+ac).==>(1)
Après le développement on procède comme ça:
a²+b²>=2ab.
a²c+b²c>=2abc.
Donc (a+b+c)(ab+ac+bc)>=9abc. (Déja annoncé par Thalès)
Donc 3(a+b+c)(ab+ac+bc)>=27abc.==>(2)
Et de 1 et 2 on déduit le résultat:(a+b+c)^3>=27abc.

Il faut savoir que Am Gm est une inégalité très puissante même si elle paraît simple, et résoud beaucoup de problèmes, faut bien la maîtriser et l'appliquer.

Sylphaen a écrit:

nmo a écrit:

Une autre question:
En utilisant : a^3+b^3+c^3>=3abc.
Montrez que (a^2+1)/b + (b^2+1)/c + (c^2+1)/a >=6.
Bonne chance.

(a^2+1)/b + (b^2+1)/c + (c^2+1)/a >=2a/b +2b/c +2c/a
>=2(a/b+b/c+c/a)
>= 2.3=6 (a^3+b^3+c^3>=3abc..)

Tu n'as pas utilisé a^3+b^3+c^3>=3abc.
Car 2a/b+2b/c+2c/a=>6.
Donne a/b+b/c+c/a=>3.
Ce qui est équivalent à ca^2+ab^2+cb^2>=3abc et pas à a^3+b^3+c^3>=3abc.

Si si , c'est la même chose .. :