Exercice Dérivation

1- Montrez que quelque soit x dans ]0,Pi/2[ On a :

x < tan x < x+x^3

2- Conclure : Lim (x tend vers 0 ) (tanx - x ) / x^2

Bonne chance

lim = 0, c'est pourtant simple non? xD

la dérivé de tan(x) étant 1+tan(x)^2
et la dérivé de x étant 1 on a
la dérivé de tan(x)-x est toujours positive ce qui veut dire que la fonction tan(x) - x est croissante , et dans notre intervale (0;pi/2)
tan(x)-x >tan(0) = 0
on aussi la dérivé de tan(x) - x -x^3 = 1+ tan(x)^2 - 1 - 2x^2
on refait la deuxiéme dérivée puis la troisiéme et on trouvera que cette fonction est décroissante et puis on conclu
pour le deuxiéme question on applique ce qu'on a démontré au début !! Bonne nuit a tous ^^

darkpseudo a écrit:

la dérivé de tan(x) étant 1+tan(x)^2
et la dérivé de x étant 1 on a
la dérivé de tan(x)-x est toujours positive ce qui veut dire que la fonction tan(x) - x est croissante , et dans notre intervale (0;pi/2)
tan(x)-x >tan(0) = 0
on aussi la dérivé de tan(x) - x -x^3 = 1+ tan(x)^2 - 1 - 2x^2
on refait la deuxiéme dérivée puis la troisiéme et on trouvera que cette fonction est décroissante et puis on conclu
pour le deuxiéme question on applique ce qu'on a démontré au début !! Bonne nuit a tous ^^

Ici c'est 3x^2 normalement .
Merci à toi

Juste une petite question un peu bête s'il vous plait ^^ La dérivée de tan^2x c'est quoi au juste ? merci

on peut la comparer à f^n donc (tan^2(x))'=2tan(x)(1+tan^2(x)) sauf erreur ...

Si si c'est juste Sherlock , ou on peut la comparer à un produit fxg , c'est à dire tan(x).tan(x)