carré parfait

SALAM,

soient a,b,c trois entiers impairs,
démontrer que ab + bc + ac n'est pas un carré parfait.

N.B: afin de rendre l'exo plus intéressant j'ai omis plusieurs questions préliminaires.

on sait que si n est impaire alors n = 2k+1
donc n²=(2k+1)² = 4k² + 4k + 1 = 4k(k+1) + 1 = 8p +1

donc:
X=1[8] et X est impaire => X est un carré parfait
par contraposé :
X n'est pas un carré parfait => X est paire ou X different 1[8]

On sait que a , b et c sont impairs sa veut dire que a+b+c est impair
donc (a+b+c)² = 1[8]
=> a²+b²+c² +2(ab+bc+ac)=1 [8]
=> 2(ab+bc+ac)=6[8] (x impair =>x²=1[8])

a partir de là , on peut resoudre l'equation 2X=6[8] avec un tableau minable ,(on trouvera x different de 1 et on conclut) , n'ya-t-il pas de meilleur solution?

EXACT

Othmaann a écrit:

on sait que si n est impaire alors n = 2k+1
donc n²=(2k+1)² = 4k² + 4k + 1 = 4k(k+1) + 1 = 8p +1
donc:
X=1[8] et X est impaire => X est un carré parfait

Sûrement pas ! Ça aurait été très facile, sinon.
Un contre-exemple à cela : 17 ; 17 est impair, congru à 1 modulo 8, mais n'est pas pour autant un carré parfait.
L'implication serait plutôt dans l'autre sens : .
L'intuition est présente, cependant : il faut bel et bien utiliser cette propriété. Enfin, si l'on veut.

D'ailleurs quand , X est impérativement impair, non ?
Au plaisir ! =]

je pense qu'il faut raisonner en congruences modulo 4?
si n est impair n² est congru à 1 modulo 4

on note p = ab+bc+ac

1er cas
a = 1 [4]
b = 1 [4]
c = 1 [4]

p = 3 [4]

2e cas :
a = 1 [4]
b = 1 [4]
c = 3 [4]

p = 7 = 3 [4]

3e cas :
a = 1 [4]
b = 3 [4]
c = 3 [4]

p = 15 = 3 [4]

4e cas :
a = 3, b = 3 c = 3 [4]
p = 27 = 3 [4]

C Q é impossble