la récurrence et la geométrie

Bonjour;


Exercice:

soit d(n) le nombre des diagonales d'un polygone qui a "n" nombre de ces cotes tel que n>= 4.


1) calcule d(4) puis d(5)

2) montrez par récurrence que : d(n) = ( n²-3n)/2

1) Calcul de d(4):
On trouve que, a partir du schéma que : d(4)=2
Calcul de d(5):
On trouve que, a partir du schéma que: d(5)=5

2) * La propriété est vraie pour n=4:
(4²-3*4)/2=(16-12)/2=4/2=2, donc elle est vrai pour n=4.
*si la propriété est vrai pour n , elle l'est aussi pour n+1:
Soit un polygone à n côté pour lequel la propriété est vérifiée, et soit un autre point P non inclus à ce polygone, on relie ce point à deux autres points de notre polygone initial, on obtient un nouveau polygone à (n+1) coté.L'ensemble des segments reliant le point P à chaque point du polygone initial a pour cardinal n, dont 2 sont cotés , et les autres sont diagonales.
Donc ce nombre de diagonale est : n-2.
on a donc: d(n+1)=d(n)+(n-2)=(n²-3n)/2 +(n-2)
=[(n²-3n)+2(n-2)]/2
=(n²-3n+2n-2)/2
=(n²-n-2)/2
et on a:
[(n+1)²-3(n+1)]/2=(n²+1+2n-3n-3)/2=(n²-n-2)
donc: d(n+1)=[(n+1)²-3(n+1)]/2
donc la propriété est vraie pour n+1.
CQFD
Sauf erreur!

DSL j'ai fais une faute dans la ligne:
[(n+1)²-3(n+1)]/2=(n²+1+2n-3n-3)/2=(n²-n-2)

je rectifie:
[(n+1)²-3(n+1)]/2=(n²+1+2n-3n-3)/2=(n²-n-2)/2