matrice d'application linéaire !!!!

Bonjour tout le monde ,

Je n'arrive pas à concevoir la question suivante si vous pouvez biensure m'aider :



Soit A= Matrice associé canoniquement à un endomorphisme f de R²:

Donc A=Mat(f,Bc) /
Bc ( (1,0) , (0,1) )

et B( e1(1,1) , e2(1,1) ) base de R²

mq : A.e1=f(e1) et A.e2=f(e2)

Merci d'avance

BSR XeluX !!

IRxIR est un IR_Espace Vectoriel de Dimension 2 et sa Base Canonique est Bc={e1;e2} ou les vecteurs e1 et e2 sont :
e1=(1,0) et e2=(0,1)

La matrice A représente l'endomorphisme f de IRxIR muni de chaque côté ( au Départ et à l'Arrivée ) de la base Bc ; on aura :
f(e1)=e1 + 2.e2 et f(e2)=2.e1 + e2 .

Un vecteur de IRxIR s'écrit a.e1 + b.e2 avec a, b dans IR , il s'écrira aussi (a,b) et aussi X={a,b} ( Vecteur à 1 Colonne et 2 Lignes )

Avec ces notations la relation y=f(x) pourra s'écrire Y=A.X
dans laquelle Y représente le Vecteur Colonne associé à y .

LHASSANE

j'aimerai rectifier une seul chose :
c'est que B ( e1(1,1) , e2(1,-1) ) est la base de R² ,

faut donc montrer que A.e1 = f(e1) et A.e2 = f(e2)

soit Bc( i(1,0) , j(0,1) )

Donc f(e1)=f(1i+1j) puisque f app linéaire alors f(e1)=f(i)+f(j)=(1,2)+(2,1)
car f(i) et f(j) sont les vecteurs colonnes de A par suite f(e1)=(3,3)

De meme pour f(e2) .

D'une facon plus général , soit u une application linéaire de E vers F tel que
base de E est B1(e1,....ep) et Base de F est B2(f1,..........fn) et supposons qu'on connait la mat(u,B1,B2) donc :



"On dit que u est complètement défini par l'image d'une base de E ."