Un système:

Résolvez en [-1,1] le système suivant:
x^2+y^2=1.
1-2xy+y=0.
Bonne chance.

Salut nmo

On veut résoudre en [-1,1] le systéme suivant:
x^2+y^2=1.
1-2xy+y=0.

------------------------------------------------------------------------
Premiérement on a: x^2+y^2=1 <=> |x|=1 et: |y|=1, ou bien: x=0 et: y=1, ou bien: y=0 et: x=1
Aussi:x^2+y^2=1 Et: 2xy-y=1 <=> x²+y²=2xy-y <=> (x-y)²=-y
(x-y)²=-y <=> y<0 [ car: (0,0) n'est pas une solution ]
Vu que y<0 donc posons: y=-1 <=> (x+1)²=1 <=> x=0 (juste) Ou: x=-2[Impossible car: x²+y²=1].
Donc: S1={(0,-1)}.
Travaillant donc sur: 1-2xy+y=0.
On pose: x=0,y=1 <=> 1+1=0 [Impossible].
x=1,y=0 <=> 1=0 [Impossible].
x=1,y=1 <=> 1-2+1=0 [Juste] mais il ne satisfait pas: x²+y²=1.
x=-1,y=-1 <=> 1-2-1 [Impossible].
x=1,y=-1 <=> 1+2-1=0 [Impossible].
x=-1,y=1 <=> 1+2+1=0 [Impossible].
Maintenant prenant x=y <=> -2x²+x+1=0, Delta=9 <=> x1=1 et x2=-1/2
x=y=-1/2 [Impossible car: x²+y²=1]. x=y=1 [Juste].
Dans l'équation x²+y²=1 , prenant: x=y <=> x²=1/2 <=> x=V2/2 ou x=-V2/2 [Impossible car: 1-2xy+y=0].
D'ou: S={(0,-1)}.

CQFD.

M.Marjani a écrit:

Salut nmo
On veut résoudre en [-1,1] le systéme suivant:
x^2+y^2=1.
1-2xy+y=0.
------------------------------------------------------------------------
Premiérement on a: x^2+y^2=1 <=> |x|=1 et: |y|=1, ou bien: x=0 et: y=1, ou bien: y=0 et: x=1
Aussi:x^2+y^2=1 Et: 2xy-y=1 <=> x²+y²=2xy-y <=> (x-y)²=-y
(x-y)²=-y <=> y<0 [ car: (0,0) n'est pas une solution ]
Vu que y<0 donc posons: y=-1 <=> (x+1)²=1 <=> x=0 (juste) Ou: x=-2[Impossible car: x²+y²=1].
Donc: S1={(0,-1)}.
Travaillant donc sur: 1-2xy+y=0.
On pose: x=0,y=1 <=> 1+1=0 [Impossible].
x=1,y=0 <=> 1=0 [Impossible].
x=1,y=1 <=> 1-2+1=0 [Juste] <=> S2={(1,1)}.
x=-1,y=-1 <=> 1-2-1 [Impossible].
x=1,y=-1 <=> 1+2-1=0 [Impossible].
x=-1,y=1 <=> 1+2+1=0 [Impossible].
Maintenant prenant x=y <=> -2x²+x+1=0, Delta=9 <=> x1=1 et x2=-1/2
x=y=-1/2 [Impossible car: x²+y²=1]. x=y=1 [Juste].
Dans l'équation x²+y²=1 , prenant: x=y <=> x²=1/2 <=> x=V2/2 ou x=-V2/2 [Impossible car: 1-2xy+y=0].
D'ou: S={(0,-1); (1,1) }.
CQFD.

On n'a pas forcément ce que tu as dit.
Le couple en rouge ne vérifie pas l'équation.

On n'a pas forcément ce que tu as dit.
Le couple en rouge ne vérifie pas l'équation.

|x|=|y| > Mal vu. car il ne satisfait pas: x²+y²=1.
D'ou: S={(0,-1)}. C'est édité.
Bonne remarque.

nmo a écrit:

Résolvez en [-1,1] le système suivant:
x^2+y^2=1.
1-2xy+y=0.
Bonne chance.

BJR à Toutes et Tous !!!
S'agissant d'un Problème d'Olympiades .... Je vois deux voies d'attaque :

1) La SUBSTITUTION : la 2ème équation donnera y=1/(2.x-1) à condition d'observer que l'on ne peut avoir x=1/2 puis remplacer y par sa valeur dans la 1ère équation .....

2) Un peu plus recherchée .... Mais je me pose la question ? Est -ce de Votre Niveau ????
Poser x=COS(a) et y=SIN(a) avec a dans IR
Ceci est possible : si x et y sont deux réels qui vérifient x^2+y^2=1 alors il existe a dans IR tel que x=COS(a) et y=SIN(a) ....
puis remplacer dans la 2ème équation x et y par ces expressions ..... puis trouver a et de là x et y ....

Idées à consommer avec Modération .... LHASSANE

Bison_Fûté a écrit:

nmo a écrit:

Résolvez en [-1,1] le système suivant:
x^2+y^2=1.
1-2xy+y=0.
Bonne chance.

BJR à Toutes et Tous !!!
S'agissant d'un Problème d'Olympiades .... Je vois deux voies d'attaque :
1) La SUBSTITUTION : la 2ème équation donnera y=1/(2.x-1) à condition d'observer que l'on ne peut avoir x=1/2 puis remplacer y par sa valeur dans la 1ère équation .....
2) Un peu plus recherchée .... Mais je me pose la question ? Est -ce de Votre Niveau ????
Poser x=COS(a) et y=SIN(a) avec a dans IR
Ceci est possible : si x et y sont deux réels qui vérifient x^2+y^2=1 alors il existe a dans IR tel que x=COS(a) et y=SIN(a) ....
puis remplacer dans la 2ème équation x et y par ces expressions ..... puis trouver a et de là x et y ....
Idées à consommer avec Modération .... LHASSANE

La question initiale étaient en trigonométrie, c'est à dire avec le cosinus et le sinus.
Bien entendu: trouvez alpha tel que 1-2cos(alpha)*sin(alpha)+sin(alpha)=0.
Vu que cos²(alpha)+sin²(alpha)=1, j'ai ajouté la deuxième condition.
Au plaisir.

solution plus simple:
x²+y²=1 (1)
1-2xy+y=0 (2)
(1)<=> (x+y)²=1-2xy=-y (3)
<=> (x-y)²= 1+2xy=-y+8xy (4)
on a (4)-(3)=> (x-y)²-(x+y)²=8xy
=> -4xy=8xy
=> xy=0
alors (2) donne y=-1
et puis (1) donne x=0
qui verifient bien le systeme
d'ou S=(0,-1)