Exercises d'olympiade pour s'entrainer.

EX1:
Soit a,b deux réels tel que: a²+b²=1
Montrez que:
-V2=<a+b=<V2

EX2:
(a.b.c)>0 a+b+c=1
montrer que
a²+b²+c²>=9abc

EX3:
a.b.c>0
montrer que:
(ab+1)/c + (bc+1)/a + (ac+1)/b >=6

EX4:



EX5:



Bonne chance.

voici l'exercie 1:

La Réponse Du Cinquiééme ,je l'ai deja Posté Quelquepart dans l'forum!

je n'ai pas bien compris la reponse de l'Ex 1 ... mohe

MohE a écrit:

Problème 1:
On a : |a+b|²=<(|a|+|b|)²=<2(a^2+b^2)=2
=> -V2=<a+b=<V2
Problème 2:
D'après Am-Gm: (a+b+c)(a²+b²+c²)>=9abc
=> a²+b²+c²>=9abc
Problème 3:
D'après Am-Gm:
sum (ab+1)/c>= 2sum V(ab/c²) >=6
Problème 4:
(Equation) <=> a+b= 2V(a-1) + 4V(b-4)
<=> [V(a-1)-1]²+[V(b-4)-2]²=0
<=> a=2 et b=8
Problème 5:
D'après Am-Gm:
a(1+1/b²)+b(1+1/a²)>=2[a/b + b/a]>=4.

C'est parfait Mr MoH !

1/On sait que: (a-b)²>=0 => a²+b²>=2ab => ab=<1/2
(a+b)²>=1
=> |a+b|>=1
=> -1=<a+b=<1
=> -V2=<a+b=<V2

2/(a,b,c)>0 ; a+b+c=1 => (a,b,c)£]0,1[
Posons: c=1/z ; b=1/y ; a=1/x => (x,y,z)£]1,+00[
Min(a,b,c) qui satisfait l'énoncé c'est quand: a=b=c=1/3.
=> (x,y,z)£[3,+00[
=> (1/x)²+(1/y)²+(1/z)²>=[(1/3)²+(1/3)²+(1/3)²]=1/3>=9/xyz
=> a²+b²+c²>=9abc.

3/ Méme façon.
Min (a,b,c) => a=b=c=1 , et application directe de I.A.G..
4/ V(a-1)-a/2 +2V(b-4)-b/2=0
2V(a-1)-a>=0 et 4V(b-4)-b>=0
=>2V(a-1)-a=0 et 4V(b-4)-b=0
=> S={(2,huit)}

5/ On a d'aprés I.A.G: a(1+1/b²)>=2a/b² (1)
b(1+1/a²)>=2b/a² (2)
De (1) et (2): a(1+1/b²)+b(1+1/a²)>=2(a/b² +b/a²)>=4

CQFD.

EXO 2 :
chebychev + IAG <==>

<==> 1/3 . (a²+b²+c²)/3 >= abc <==> a²+b²+c² >= 9abc
EXO 1
c facile je crois il suffit de remarquer que (a+b)²<2 d'apres
a²+b²=1 <==> (a+b)²=1+2ab
EXO 3 :
IAG <==>
EXO 5 :
c deja annoncé !! mais j'essayerais sans theoremes !^^


a(1+1/b²)+b(1+1/a²)>= 2(b/a + a/b)
et on a

d'ou la conclusion !!

et pour l'équation c'est presque les meme soluc que vous avez presentez

M.Marjani a écrit:

1/On sait que: (a-b)²>=0 => a²+b²>=2ab => ab=<1/2
(a+b)²>=1
=> |a+b|>=1
=> -1=<a+b=<1
=> -V2=<a+b=<V2

2/(a,b,c)>0 ; a+b+c=1 => (a,b,c)£]0,1[
Posons: c=1/z ; b=1/y ; a=1/x => (x,y,z)£]1,+00[
Min(a,b,c) qui satisfait l'énoncé c'est quand: a=b=c=1/3.
=> (x,y,z)£[3,+00[
=> (1/x)²+(1/y)²+(1/z)²>=[(1/3)²+(1/3)²+(1/3)²]=1/3>=9/xyz
=> a²+b²+c²>=9abc.

3/ Méme façon.
Min (a,b,c) => a=b=c=1 , et application directe de I.A.G..
4/ V(a-1)-a/2 +2V(b-4)-b/2=0
2V(a-1)-a>=0 et 4V(b-4)-b>=0
=>2V(a-1)-a=0 et 4V(b-4)-b=0
=> S={(2,huit)}

5/ On a d'aprés I.A.G: a(1+1/b²)>=2a/b² (1)
b(1+1/a²)>=2b/a² (2)
De (1) et (2): a(1+1/b²)+b(1+1/a²)>=2(a/b² +b/a²)>=4

CQFD.

ce Qui est en Rouge Ce N'est pas Ce Que t'as Mis Dans Les Ennoncés,Mais En Tout Cas Merci Pour l'exo mec

Moi J'ai crus Que c'est leur Produit Qui est Positif!!

W.Elluizi a écrit:

Moi J'ai crus Que c'est leur Produit Qui est Positif!!

Pardon.. j'ai coller l'EX comme il est c'est pourquoi ))
Il n'ya pas de quoi.

m.MARJANI stp est ce ke vs pouvez me dire si on peut prouvé le 1er e des olympiades on considérant ke x>=1 et y>0 !! si c wiii , tu peux postéé ta réponse !??????

Mlle Betty a écrit:

m.MARJANI stp est ce ke vs pouvez me dire si on peut prouvé le 1er e des olympiades on considérant ke x>=1 et y>0 !! si c wiii , tu peux postéé ta réponse !??????

J'ai pas compris, car il n'ya pas de "x" dans le premier EX.

Mohe voila le lien https://mathsmaroc.jeun.fr/seconde-tronc-commun-f6/test-de-kenitra-t15580.htm
et sii ta pu resoudre le 1er exos ac x>=y , tu poste ta reponse !!

Bonjour exo !4 on trouve a =2 b=8

MohE a écrit:

[color=darkslateblue]

Problème 2:
D'après Am-Gm: (a+b+c)(a²+b²+c²)>=9abc

Pourrais-tu m'expliquer qu'est ce : Am-Gm stp

slt Mim , Am-Gm est :
a1,a2,......,an des reéls positifs !


-------------------------------------------------------------------
alors on appliquant Am-Gm



et

donc on deduit que

Master tu peux me dire c'est Am-GM

Am-Gm est un teo appliqué pour les reélles positifs !! est sa généralistaion dans mon msg précédent ! ^^
P.S bienvenue aymen ! ^^
Au plaisir !!!

tu peux m'écrire ce teo stp ou me l'expliquer