exo arithmetique help

on a dans Z : (E); x²+y²=pz²
et on a p nombre premier qui realise : p=3[4] (= ca veu dire congru ^^)
1)a- montrer que l'equation x²+1=0[p] n'a pas de solution en Z
b- en deduire que ( pour chaque x et y appartenant a Z² ;
p/(x²+y²) <==> p/x et p/y
2)a- montrer que l'equation x²+y²=pz² n'a pas de solutions dans N en sachant que x^y^z=1
b-en posant x^y^z=d deduire les solutions en N
c- en deduire les solutions de l'equation E

salam :

ok ; j'essayerai

1) a- démonstratio par absurde

supposant qu' il existe un x vérifiant

x^2 + 1 = 0 [p] ==> x^2 = -1 [p] ==> x^4 = 1 [p]

et d'apres fermat on a : x^ p-1 = 1 [p]

==) p-1 = 0 [4] ==> p = 1[4]

contadiction
CQFD

pour les aut' questions je re !

tu ne peux utiliser fermat que si tu as x et p premier entre eux , comme tu as p premier faut discuter les 2 cas

salut otmane :

bien vu ! mais l'aut cas est impossible car on a supposé que
x^2 + 1 = 0 [p]

Oui oui souvent le 2eme cas est évident , il faut juste le signaler =)

b - p/x et p/y ==> p/x^2 et p/ y^2
==> p / x^2 + y^2 .

réciproquement :

on doit démontrer

p / x^2 + y^2 ==> p/x et bien p/y

supposant par absurde que p ne divise pas x ou bien y

et puisque x et y jouent le m^me r^le
on suppose que :

p ne divise pas x ==> ux + vp = 1 (bezout)

ux = 1 [p] ==> (ux)^2 = 1 [p] .

et on a p /x^2 +y^2

==) p / (ux)^2 + (uy)^2

==> (uy) ^2 = -(ux)^2 [p] = -1 [p]

==> (uy) ^2 + 1 = 0 [p]

contradiction avec la question précédente ...

x^2 + y^2 = p z^2

p / pz^2 ==> p/ x^2 +y^2 ==> p /x et p /y

==> p^2/x^2 et p^2 /y^2 ==> p^2 / pz^2

==> p/ z^2 => p/z ( pest premier )


==> p / x^y^z ==> p /1 ==> p = 1

contradiction avec p= 3 [4].

b - si on a supposé que x^y^z = d / (x;y;z) # (0;0;0)
car 0^0^0 n'existe pas

==> il existe (a;b;c) £ IN^3 /

(da)^2 + (db)^2 = p (dc) ^2 et a^b^c = 1

==> a^2 + b^2 = pc^2

==> impossible d'apres 2)a- et puisque (0;0;0) est une solution

==> S= (0;0;0)

on constate que si (x;y;z) est un triple solution dans Z de l'equation (E)

<===> (-x;-y;-z) est aussi une solution .


==> S = (0;0;0)

merçi pour vos reponces je re avec d'autres exoo inchalah