Derniers exo avant l'épreuve de demain !

Exo 1 :
soit a , b , c des nombres réels positifs ; démontrez que :

(a+b)/a²+b² + (b+c)/b²+c² + ( c+a ) / c²+a² =< 1/a + 1/b + 1/c

Exo 2 :
a , b , c , d des nombres positifs et : a < b < c < d
rangez les nombres ci dessous par ordre croissant :
(a+b)(c+d) ; (a+c)(b+d) ; (a+d)(b+c)

Exo 3 :
soit a , b , c 3 nombres réels différents de 0 : ab + bc + ca = 0
Calculez : ( b+c ) / a + ( c+a ) / b + ( a+b ) /c

Exo 4 :
Démontrez que : ( 499 999 ) ² + 999 999 = 25 * 10^10

A vos claviers ... !

1er exo
d'apres l'IAG a²+b²>=2ab
donc 1/(a²+b²)<=1/2ab
donc (a+b)/(a²+b²)<=(a+b)/2ab -1-
en suivantt la meme demarche on trouvera
(b+c)/(b²+c²)<=(b+c)/2bc -2-
et (c+a)/(c²+a²)<=(c+a)/2ac -3-
donc d'apres 1et 2 et 3
(a+b)/(a²+b²)+ (b+c)/(b²+c²)+ (c+a)/(c²+a²)<=(a+b)/2ab+(b+c)/2bc+(c+a)/2ac
donc
(a+b)/(a²+b²)+ (b+c)/(b²+c²)+ (c+a)/(c²+a²)<=(ac+bc+ab+ac+bc+ab)/2abc
donc
(a+b)/(a²+b²)+ (b+c)/(b²+c²)+ (c+a)/(c²+a²)<=2(ac+ab+bc)/2abc
donc (a+b)/(a²+b²)+ (b+c)/(b²+c²)+ (c+a)/(c²+a²)<=(ac+ab+bc)/abc
donc
(a+b)/(a²+b²)+ (b+c)/(b²+c²)+ (c+a)/(c²+a²)<=ac/abc+ab/abc+bc/abc
donc
(a+b)/(a²+b²)+ (b+c)/(b²+c²)+ (c+a)/(c²+a²)<=1/b+1/c+1/a
sauf faute de frappe

1/ Par symétrie des roles, posant: a>=b>=c.


Sinon, je vais chercher autre methode plus simple.
CQFD.

slt ^^ !

Re.
2/Donnés: a<b<c<d
On a:(a+b)(c+d)=<2b*2d=4bd
Et: (a+c)(b+d)=<2c*2d=4cd
4cd>=4bd Donc: (a+c)(b+d)>=(a+b)(c+d)
=> (a+b)(c+d)=<(a+c)(b+d) (1)

D'autre part: b+c>=a+c et: b+d>=a+d
=> (b+c)(b+d)>=(a+c)(a+d) (2)

D'ou: (b+c)(b+d)>=(a+c)(a+d)>=(a+b)(c+d)
CQFD.

4/

(499999)²+999999=(500000-1)²+2*(500000)-1=(500000)²-2*500000+1-1+2*500000
=500000²=(250000)²*4=25*25*4*10^{8}=25*10^{10}

M.Marjani a écrit:

Re.
2/Donnés: a<b<c<d
a+b=<a+c et: c+d=<b+d
=> (a+b)(c+d)=<(a+c)(b+d) (1)

D'autre part: b+c>=a+c et: b+d>=a+d
=> (b+c)(b+d)>=(a+c)(a+d) (2)

D'ou: (b+c)(b+d)>=(a+c)(a+d)>=(a+b)(c+d)
CQFD.

si b=<c alors b+d=<c+d

M.Marjani a écrit:

4/

(499999)²+999999=(500000-1)²+2*(500000)-1
=500000²=25*10^{10}

je vois que c'est juste je suis arrivé à 500000 et je n'avais pas pu conclut qel égalais 25x10^10

pain-aymen a écrit:

M.Marjani a écrit:

Re.
2/Donnés: a<b<c<d
a+b=<a+c et: c+d=<b+d
=> (a+b)(c+d)=<(a+c)(b+d) (1)

D'autre part: b+c>=a+c et: b+d>=a+d
=> (b+c)(b+d)>=(a+c)(a+d) (2)

D'ou: (b+c)(b+d)>=(a+c)(a+d)>=(a+b)(c+d)
CQFD.

si b=<c alors b+d=<c+d

Oui, une faute d'innatention, je vais réctifier.
Bonne remarque.
Tu peux voir mon poste de 500000, c'est façile de conclure

EXO4 trop facile !^
499999=500000-1 =5.10^5 ==> (499999)²=(5.10^5 - 1)²
==> 25.10^10+1-2.5.10^5=25.10^10+1-10^6
et on a 999999=1000000-1=10^6-1
alors 499999²+1000000=25.10^10+1-10^6+10^6-1=25.10^10

dsl j'ai pas vu la soluc de Marjani !! ^^

Pour le 3éme, j'ai une autre methode:



CQFD.

master a écrit:

dsl j'ai pas vu la soluc de Marjani !! ^^

Tous on a droit de poster nos réponse, tu peux poster quand tu veux, donc ou est le probléme Mr Master
J'y vais au lycée.
Bonne chance.