Montrez Que..

Salut à Tous !

Soit a et b deux nombres strictement positifs

Tels que a+b=1

Montrez Que : ( 1+1/a) (1+1/b) >= 9

Ps:Désolée si J'ai pas écrit ça sur Un Logiciels

Bonne Chance

a et b étant strictement positifs, on peut déduire d'emblée que .

Or , et ainsi, l'expression est un produit de facteurs positifs.
CQFD.

Oui ,C'est Vrai .Bien Joué Dijkschneier

Mais Il y a Une autre méthode ^^

(1+1/a)(1+1/b)=1+2(a+b)²/ab >=9

Rien à ajouter, bien dijksheiner.

Premiére methode:

a+b=1 et (a,b)>0 => (a,b) £ ]0,1[.
D'aprés holder: Quand 1/r + 1/s = 1 en ce moment on a:

Puiseque (a,b) £ ]0,1[ donc on peut changer les variables:
Posant: 1/r=a <=> r=1/a et: 1/s=b <=> s=1/b.
En appliquant Holder on trouve donc:
(ab)/2=<((a/2)^{1/a})*((b/2)^{1/b}) => ab=<(ab/2)^{1/ab}=<1/4.
Et revenons à notre inégalité de départ: (1+1/a)(1+1/b)=1+ 1/b + 1/a + 1/ab
=1 + (a+b)/ab + 1/ab = 1 + 2/ab >=1+2/(1/4)=9

2éme methode: (Une AM-GM suffit !)
(1/2)(a+b)>=(ab)^{1/2} <=> ab=<1/4
On a:(1+1/a)(1+1/b)=1+2/ab>=9 . Egalité si a=b.


Sinon on peut utiliser Min(a,b)=1/2 xd.
Merci.

Trés Bien Sylphaen et M.Marjani ^^

Mais M.Marjani Une tu as utiliser une kalashnikov pour tuer une mouche !!!

Salut voici une autre méthode:

2(a-b)²>0 car un carré est tjr positif
ab>0

D'ou:


A+

Voir que :, même chose pour le deuxième facteur, et utiliser 2 fois AM-GM.

Oui C'est Vrai .Trés Bien ^^

Soit: D=(1+1/a)(1+1/b)-9
alors: =(a+b+1)/ab-8
et puisque: b=1-a
donc: D=(a+1-a+1-8a(1-a))/ab
ce qui est équivalent à: (8a²-8a+2)/ab
D'ou: D=(2(2a-1)²)/ab
le tout est positif,Alors: D>=0
Merci pour L'Exo

oh je crois que je ss venu en retard nn mais une aure methde bn cnt

On a:
(1+1/a)(1+1/b)= 1+1/b+1/a+1/ab
= 1+1/b + 1/a + (a+b)/ab
= 1+1/b + 1/a + 1/b +1/a
= 1+2(1/b + 1/a)
=1+2((a+b)/b + (a+b)/a)
=1+2(a/b+ 1 + 1+ b/a)
=1+2(2+a/b + b/a)>= 1+2(2+2)=9
D'où le résultat.

c est la methode que je vous donne la plus facile

Salut tout le monde

Voilà ma méthode :

(1+1/a)(1+1/b)=1+1/a+1/b+1/ab=1+1+a/b+1+b/a+1/ab
=3+b/a+a/b+1/ab
on sait que b/a+a/b>=2
Donc 3+b/a+a/b+1/ab>=5 (1)
On a a+b=1 => a²+b²=1-2ab>=0 donc on a 1/ab-4=(1-2ab)(1+2ab)/ab ==> cela est un produit de nombres positifs :

donc 1/ab >=4 (2)

Et de (1) et (2) on conclut que (1+1/a)(1+1/b) >= 9

J'ai fait plusieurs méthodes semblables aux vôtres donc j'ai voulu innover