éspace séparable

on fixe V une suite borné je veux l approcher par une suite de suite définie comme suit
la premiere suite admet comme premier element le premier element de v et nulle pour les indices suivants
la deuxiéme suite admet comme premier element le premier element de v et comme deuxieme element le deuxieme element de v et nulle pour les indices suivant

ect

on munit l espace des suite borne de la norme sup des element de la suite

le probleme est que je n arrive pas à montrer que la différence de la suite de suite construite et de la suite v tend vers 0 méme si cela parait intuitif .

BJR mouadimp !!

Les suites sont indéxées sur IN* par COMMODITE pure !!

On notera V=(un)n ta suite initiale supposée BORNEE .
On notera aussi Vk la suite (v(i,k))i définie ainsi :
v(i,k)=ui si 1<=i<=k et v(i,k)=0 si i>k .

Et on travaille donc avec la suite (Vk)k
Evaluons pour chaque entier k , la suite Wk=Vk-V=(w(i,k))i
Pour chaque i , on a par définition w(i,k)=v(i,k)-ui donc :
pour 1<=i<=k on aura w(i,k)=0 et
pour i>k on aura w(i,k)=-ui .

Si on note || . || la Norme dans l'espace vectoriel des Suites Bornées ......
Alors ||Vk - V||=Sup { |ui| , i>k } <= ||V||

Maintenant , on peut se poser plusieurs questions !!!!

1) Est ce que ||Vk - V|| peut tendre vers ZERO lorsque k -----> +oo ????
Pas toujours !! Prends donc la suite V=((-1)^n)n , il est clair que
|| Vk - V ||=1 et donc ton résultat serait faux .....

2) Que faudrait-il rajouter à ton énoncé .... pour que ce soit vrai ????
SI l'on suppose que la suite V=(un)n CONVERGE vers ZERO alors ce serait VRAI !!!

LHASSANE

PS : En fait , il y a même EQUIVALENCE entre
{ la suite V=(un)n converge vers ZERO } et
{ Lim ||Vk - V||= 0 lorsque k ------> +oo }

Bonjour

Merci pour votre réponse

vous avez raison je viens de me renseigner sur le théorème de la double limite qui va assurer puisque les terme de la suite de suite sont des suites nulle à partir d un certain rang que la suite limite à une limite nulle
le resultat comme votre exemple le montre est donc faux dans le cas genéral.