exo 3 p 230 olympiade sur les applications

soit g application définie comme suivant g:IR--->IR
x---->g(x)
tel que (qlq x de IR) gog(x)=-x
1) montrez que g est bijective
2) déterminez g(0)

BON c assez facile je crois
pour montrer que g est bijective on doit prouver qu'elle injective et surjective.
Pour l'injection, on sait que gog inj => g inj*
Pour la surjection on sait aussi que gog surj => g surj **

pour * : gog(x)=gog(y) tel que x,y de R
--> -x=-y -->x=y (d'où l'injection)
pour ** on resoud l'equation gog(x)=y
<=> -x=y <=>x=-y
de (*) et (**) on a inj et surj de g donc la bijection definie ainsi:

g^-1 =-x (de R vers R)


et le reste est à toi ;-)



SAUF ERREUR!

c juste? enfin t'as compris ce que j'ai fait sinon fait signe !

je vous remercie pour répondre vite, mais gog injec n'implique pas que g est injec , sinon le contraire est vrai ..

nn nn tu veux une demonstration pour celà? la voilà :
on suppose que gog est injective et on demontre que g est injective:
soient (x,y)de E² tel que E est l'ensemble de départ de l'application g, on a g(x)=g(y)---> g(g(x))=g(g(y)) (pk g est une application !!! )
<=>gog(x)=gog(y) et puisque gog est inj on a
----> x=y d'où l'injection de g

tarask a écrit:

BON c assez facile je crois
pour montrer que g est bijective on doit prouver qu'elle injective et surjective.
Pour l'injection, on sait que gog inj => g inj*
Pour la surjection on sait aussi que gog surj => g surj **
pour * : gog(x)=gog(y) tel que x,y de R
--> -x=-y -->x=y (d'où l'injection)
pour ** on resoud l'equation gog(x)=y
<=> -x=y <=>x=-y
de (*) et (**) on a inj et surj de g donc la bijection definie ainsi:
g^-1 =-x (de R vers R)
et le reste est à toi ;-)
SAUF ERREUR!

BJR à Toutes et Tous !!
BJR tarask !!

Il y a quelquechose que je voudrais te faire remarquer :
Lorsque tu résouds l'équation " gog(x)=y " c'etait , dans ton raisonnement , fait pour établir que g est
surjective ......
Or tu t'y prends mal , je pense ....
Il faudrait s'y prendre ainsi :

Soit y dans IR , existe-t-il un u dans IR tel que y=g(u) ????
Si y est donné et fixé dans IR et si un tel u existait alors :
y=-(-y)=gog(-y)=g(g(-y))=g(u) et puisque g est INJECTIVE( déjà prouvé ) alors
le u que l'on cherche c'est u=g(-y) !!!!!!

Et pour la dernière question : on montre d'abord que g est IMPAIRE sur IR.
En effet , pour tout x dans IR :
gog(x)=-x
On applique g une fois et on utilise l'ASSOCIATIVITE de la Loi o pour obtenir
g{gog(x)}=g(-x) soit {gog}(g(x))=g(-x) soit -g(x)=g(-x)
Il suffira de faire x=0 dedans pour obtenir g(0)=-g(0) soit 2.g(0)=0
d'ou g(0)=ZERO .

Remarque : tu as écrit g^(-1)=-x , je ne vois pas d'ou celà sort-il ???
On est dans l'incapacité de déterminer h=g^(-1) bijection réciproque de g.
Tout ce que l'on peut dire c'est que : hoh=-Id c'est tout .....

LHASSANE

Fermat-X a écrit:

soit g application définie comme suivant g:IR--->IR
x---->g(x)
tel que (qlq x de IR) gog(x)=-x
1) montrez que g est bijective
2) déterminez g(0)

BJR Fermat-X !!

J'ai une question pour Toi .....
Existe-t-il des fonctions g ( continues ou non ) définies sur IR et qui vérifient la Condition gog=-Id ????

Merci pour Ta Réponse !! LHASSANE

Slt à tout lmonde!
bonjour à toi aussi M.Bison-fûté
Et bien vous savez , en lisant votre reponse j'ai eu un grand doute à propos de la mienne hh pk celà fait presque 8 mois que j'apo fait kk chose sur les apps alors j'ai pris mon cahier de leçons et voilà ce que j'ai trouvé :
g:F---->G f:F----->f
gof surj --->g surj ( et c'est là la faute que j'ai commise pk g juste remplacé le f par le g sans prendre en consideration les ensembles de depart et d'arrivée ) en tt cas bien vu M.Bison-fûté je tâcherai d'avancer une explication meilleure !