LES APPLICATIONS

salam tout le monde

il y a 3 jours que je travaille sur un exercise que je n'ai pas reussit a le resoudre

le voila LES APPLICATION: exercise 111 page 97

besoin de vous/ aidez moi SVP

Comment veux-tu qu'on t'aide s'il n y a pas d'enoncé ?

soit A et B deux elements de P(E)

on considére l'application :


f : P(E) → P(A) x P(B)
X → (X ∩ A,X ∩ B)


1) Montrez que : A U B = E <=> f injective

2) Montrez que : A ∩ B = Ø <=> f surjective

3) Quel est la condition necessaire et suffisante pour que f soit bijective.et determine f-.

1) a)soit X,Y £ P(E) tels que f(X) = f(Y).
alors X ∩ A = Y ∩ A et X ∩ B = Y ∩ B
donc (X ∩ A) U (X ∩ B) = (Y ∩ A) U (Y ∩ B).
d'ou X ∩ (A U X) ∩ (B U X) ∩ (A U B) = Y ∩ (A U Y) ∩ (B U Y) ∩ (A U B)
alors comme AUB = E, X=Y.

C/C : f est injective.

b) sipposons que f est injective :

on a f(E) = (A,B), et f(A U B) = (A,B) donc A U B = E.


2) a) soit (X,Y) £ P(A)xP(B), on f(X U Y) = ((X U Y) ∩ A, (X U Y) ∩ B)

or (X U Y) ∩ A = (X ∩ A) U (Y ∩ A), or Y £ P(B) et A ∩ B = Ø donc Y ∩ A = Ø
alors (X U Y) ∩ A = (X ∩ A) = X
de meme (X U Y) ∩ B = Y
donc f(X U Y) = (X,Y)
C/C : f est surjetive.

a suivre

merci beaucoup Shwartz .

mais comment tu as eu l'ideé de f(X U Y) ?

Conan a écrit:

merci beaucoup Shwartz .

mais comment tu as eu l'ideé de f(X U Y) ?

Achète dima dima

2) si f surjective alors Il existe X dans P(E) tq (XnA,XnB)=(A,Ø)
==> XnA=A et XnB=Ø
==> AnB=Ø
3) f bijective <==> f injective et surjective <==> AnB=Ø et AuB=E
<==> A et B forment une partition non triviale de E