Je prends l'initiative:
Soit T un point qui appartient à (BC) et qui n'appartient pas à [BC), de telle sorte que BT=BD.
Posons CBD=x, ABD=y, ADB=z, et ACB=t.
Selon les données, on a x+2y=180°.
Et z+t=90°.
On a C, B, et T trois points allignés.
Donc CBT=180°. (angle)
Donc CBA+ABT=180°. (angles)
Donc CBD+DBA+ABT=x+2y. (angles)
Donc x+y+ABT=x+y+y. (angle)
Donc ABT=y. (angle)
(Il en résulte que BA est la bissectrice de l'angle TBD).
On a AB=AB.==>(1) (le même côté)
Et BT=BD.==>(2)
Et ABD=ABT.==>(3) (angles)
De 1, 2, et 3, on déduit que les deux triangles ABD et ABT sont isométriques.
D'une part, leurs angles juxtaposés sont égaux.
Donc ADB=ATB. (angles)
Donc ATB=z. (angle)
Et d'autre part, les mesures de leurs côtés juxtaposés sont égaux.
Donc AT=AD.==>(*)
Dans le triangle ADC, la somme de ses angles vaut 180°.
Donc ATC+ACT+TAC=180°. (angles)
Donc z+t+TAC=180°. (angle)
Donc 90°+TAC=180°. (angle)
Donc TAC=90°. (angle)
Ainsi le triangle ATC est rectangle en A.
Se lon le théorème de pytagore dans ce triangle, on a AT²+AC²=TC².
Donc AT²+AC²=(TB+BC)².
Donc, en utiulisant *, AD²+AC²=(BC+BD)².
CQFD.
Accueil 