inég

montrez q qlq soit n appartient R* qlq soit n app N / (1+a)^n >= 1+na
( autre mehode que la recurrence .. )

je crois que n>1 et a>-1?? , car c l'inégo de bernouille

c'est Bernoulli oui master n>1 et a>-1
y a je crois 3 méthodes pour la faire!

C'est plutot a un réel positif ou nul. n entier naturel Je pense.

M.Marjani a écrit:

C'est plutot a un réel positif ou nul. n entier naturel Je pense.

non ce sont les conditions qu'on a cité moi et master j'en suis sur

1ere methode avec le binome de Newton
2eme methode recurrence
3eme methode dérivabilité
essaye avec sinon on te poste les solutions d'accord?

Voilà la preuve:

Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n (1+a)^n ≥ 1 + na avec a≥0
(1+a)^0=1 car 1+a est différent de 0
1+0a=1
Donc (1+a)^0≥ 1 + 0a
La propriété est donc vraie au rang 0.

Supposons que (1+a)^k ≥ 1 + ka avec k entier naturel.
(1+a)^(k+1)=(1+a)^k*(1+a)
On sait d'après l'hypothèse de récurrence que (1+a)^k ≥ 1 + ka
Or comme a≥0, alors 1+a≥0 donc (1+a)^k*(1+a)≥(1 + ka)(1+a)
(1 + ka)(1+a)=1+a+ka+ka²=1+(k+1)a+k a²≥ 1 + (k+1)a
Par conséquent (1+a)^(k+1)≥ 1 + (k+1)a
La propriété est donc vraie au rang k+1

Il en résulte que pour tout entier naturel n (1+a)^n ≥ 1 + na avec a≥0.

Merçi.

oui c connu M.Marjani ! mais je crois que Nasslahssen demande une autre méthode que réccurence ^^ ! en tt cas ton raisonnement est vrais !

Mais remarquez que l'inégalité demander est ainsi:

(1+a)^n >= 1+na
Bernouilli est ainsi: (1+a)^n > 1+na

je m'excuse Marjani votre info est fausse ! bernouilli dit ^^ :
pour tt a>1 et x>-1 alors
(1+x)^a>=1+ax !

tu peux encore chercher pour s'assurer ^^ !

master a écrit:

Bernouilli dit ^^ :
pour tt a>1 et x>-1 alors
(1+x)^a>=1+ax !

Que dites vous de ça: http://fr.wikipedia.org/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9_de_Bernoulli

c po un prob M.Marjani l'inégo peut prendre plusieurs formes tout ce qu'il y a c'est que l'égalité est satisfaite dans kk conditions voilà pour finir avec cette inégo qui est très facile:
http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli%27s_inequality

tarask a écrit:

c po un prob M.Marjani l'inégo peut prendre plusieurs formes tout ce qu'il y a c'est que l'égalité est satisfaite dans kk conditions voilà pour finir avec cette inégo qui est très facile:
http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli%27s_inequality

Oui, mais vous avez dis que pour n>1 => n ≥ 2 , a ≥ −1 avec a ≠ 0 l'on a: (1+a)^n >= 1+na !
Il faut dire plutot n>=0 et a>-1 avec a ≠ 0 l'on a (1+a)^n >= 1+na.

Oui, elle trés façile par réccurence, je vais essayer avec autre methode.

essaye avec le binome de Newton c la plus courte !

comment faire en utilisant Newton ?

bonjour haj rwina voilà ma démonstration:

Merci tarask
Bonne methode !!
On peut aussi la demontrer avec la derivation et la recurence

de rien !
oui oui c déjà mentionné

les mec ana l9it une autre méthode f chek ! ach dert mchite b takafou2ate lmoutatalia yak .. !!
j'ai développé l'expression taa lidentité rmarquable ( (1+a)^n )
puis mali developitha bant whd "1" et " na " ghadi imchiw maa lakhrin li kaynine f lotre coté dc sa donné a la fin :
(1+a)^n >= 1+na <=> ..........<=> C(2,n) +C.......>= 0
CHOSE QUI EST VRAI ... §§!! maart ach ban likoum ??? !!

Nasslahsen a écrit:

les mec ana l9it une autre méthode f chek ! ach dert mchite b takafou2ate lmoutatalia yak .. !!
j'ai développé l'expression taa lidentité rmarquable ( (1+a)^n )
puis mali developitha bant whd "1" et " na " ghadi imchiw maa lakhrin li kaynine f lotre coté dc sa donné a la fin :
(1+a)^n >= 1+na <=> ..........<=> C(2,n) +C.......>= 0
CHOSE QUI EST VRAI ... §§!! maart ach ban likoum ??? !!

c la meme de tarask!!!
merci a tous

sinon si on met tous dans le coté de gauche on obtient comme dérivée je pense n*a^(n-1) avec n pair on a la fonction prend comme valeur minimal 0 en 0 donc tout est grand ou egal a zero
sinon dans le cas de n est impair on obtient une fonction croissante sauf que la je pense que n est strictement grand de zero
sauf erreur
merci