The Fabulous Three : logic for "Premières" ...

BJR à Toutes et Tous !!

Je serais navré s'il avait été posé déjà ici sur le Forum !
Mais j'ai trouvé cet exo de Niveau Premières et je n'ai pas hésité à le reposer en demandant une Démo de ce Niveau là .....

<< Soient a et b des réels tels que que a < 1/2 et b < 1/2 .
Montrer que l'on a : a+b-2ab < 1/2 >>

Je donnerais ma Soluce ( ou un Lien vers celle-ci ) plus tard .... Un indice : utiliser ce que vous savez sur le Trinôme du Second Degré .....

Portez-Vous Bien & Bonnes Vacances à ceux qui en Profitent ....

LHASSANE

bonjour M.Bison-fûté!
j'ai trouvé une solution avec dérivabilité:
considérons la fonction f(x)=-x+2xb+(1/2 -b)
f est dérivable sur (-infini;1/2)=I
f'(x)=-1+2b
on a b<1/2 donc on déduit après tout que f est décroissante sur I
pour tout x de I on a f(x)>0 (f(1/2=0) CQFD
SAUF ERREUR BIENSUR

BJR tarask !!

Bien !! C'est correct avec la DERIVABILITE ...
Pourrais tu réfléchir à une soluce du niveau Premières sans la dérivabilité .....
Mais essaye donc avec l'indice donné ...

LHASSANE

dsl si j'ai pas suivi la consigne , j'essayerai plutard avec
et merci pour l'exo !

Salam;

On a: a+b-2ab<1/2 => a+b < 1/2+2ab
Donc: a²+b²+2ab < (1/2 +2ab)²
D'ou: a²+b²+ (2ab - (1/2 +2ab)²) < 0
Donc: 2ab - 1/4 -2ab - 4(ab)² < 0
Cela veut dire que: 4(ab)² < 1/4
Il en résulte que: ab < 1/4 ou bien: ab > -1/4
Si : a=b => -2a²+2a -1/2 = 0 => a+b-2ab=1/2 impossible, donc a # b.
(pas encore terminé)
Donc: a<1/2 et: b<1/2.

Deuxiéme methode:
a+b-2ab-1/2=(a- 1/2)(1 -2b)
a<1/2 => a-1/2<0 et: b<1/2 => -2b>1 => -2b+1>2
D'ou: a+b-2ab-1/2=(a- 1/2)(1 -2b)<0

M.Marjani a écrit:

Salam;

On a: a+b-2ab<1/2 => a+b < 1/2+2ab
Donc: a²+b²+2ab < (1/2 +2ab)²
D'ou: a²+b²+ (2ab - (1/2 +2ab)²) < 0
Donc: 2ab - 1/4 -2ab - 4(ab)² < 0
Cela veut dire que: 4(ab)² < 1/4
Il en résulte que: ab < 1/4 ou bien: ab > -1/4
Si : a=b => -2a²+2a -1/2 = 0 => a+b-2ab=1/2 impossible, donc a # b.
(pas encore terminé)
Donc: a<1/2 et: b<1/2.

marjani je n'arrive vraiment pas à comprendre cette ligne : a=b => -2a²+2a -1/2 = 0 => a+b-2ab=1/2 impossible, donc a # b.
(

Mlle Betty a écrit:

M.Marjani a écrit:

Salam;

On a: a+b-2ab<1/2 => a+b < 1/2+2ab
Donc: a²+b²+2ab < (1/2 +2ab)²
D'ou: a²+b²+ (2ab - (1/2 +2ab)²) < 0
Donc: 2ab - 1/4 -2ab - 4(ab)² < 0
Cela veut dire que: 4(ab)² < 1/4
Il en résulte que: ab < 1/4 ou bien: ab > -1/4
Si : a=b => -2a²+2a -1/2 = 0 => a+b-2ab=1/2 impossible, donc a # b.
(pas encore terminé)
Donc: a<1/2 et: b<1/2.

marjani je n'arrive vraiment pas à comprendre cette ligne : a=b => -2a²+2a -1/2 = 0 => a+b-2ab=1/2 impossible, donc a # b.
(

En remplacant b par a dans l'inégalité de départ: a+b-2ab<1/2, on trouve que:
a+a-2a²<1/2 donc: -2a²+2a-1/2 < 0, delta=0, donc -2a²+2a-1/2=0 à une solution, ce quies impossible car: -2a²+2a-1/2 < 0 (stricte).

M.Marjani permettez moi d'intervenir mais je crois que vous avez fait l'autre implication non?

tarask a écrit:

M.Marjani permettez moi d'intervenir mais je crois que vous avez fait l'autre implication non?

L'idée est de partir de l'inégalité de départ, pour montrer qu'elle est juste pour a<1/2 et b<1/2.

mais il n'y a pas d'équivalence à ce que je vois !

2a+2b-4ab-1 =(1-2b)(2a-1)<0
fini !

tarask a écrit:

M.Marjani permettez moi d'intervenir mais je crois que vous avez fait l'autre implication non?

BSR à Toutes et Tous !!

C'est Vrai M.Marjani que tu fais le chemin inverse ......
Je vais maintenant vous aiguiller un peu .... Soient a et b réels vérifiant
a < 1/2 et b < 1/2
Poser donc A=(1/2) - a puis B=(1/2) - b

On a alors par Hypothèse A.B > 0 il ne reste plus qu'à développer cette expression A.B pour conclure .....

Pourquoi la réciproque n'est pas Vraie ?????
Tout simplement parceque si A.B > 0 , on peut simplement conclure que A et B sont de même signe par conséquent on aura :
Soit A>0 et B>0
OU ( sens EXCLUSIF )
A<0 et B<0
Autrement dit , en sens inverse on pourrait avoir aussi a>1/2 et b>1/2 .
et c'est pour cette raison que l'on n'a pas EQUIVALENCE !!!

PS : j'ai donné une Solution basée sur le Trinôme su Second Degré ICI :

http://www.mathsland.com/Forum/lire-message.php?identifiant=ca9b8889cc553ae8ecd88e62d10fbe55&forum=2

Réfléchissez un peu plus avant de la consulter .... Ou bien faites en ce que Vous Voulez ??!!! ..........................

LHASSANE

Bonjour/soir
Ma réponse est ainsi :
on a a+b-2ab<1/2
<=> (b-2ab)+(a-1/2)<0
<=>2b(1/2-a)+(a-1/2)< 0
<=>-2b(a-1/2)+(a-1/2)<0
on factorise ça donne <==>(a-1/2)(-2b+1)<0
le produit est négatif donc il y'a deux cas:
Le premier : (-2b+1)>0 et (a-1/2)<0
donc : -2b>-1 et a<1/2
d'où : b<1/2
Donc :a<1/2 et b<1/2 et CQFD

LE Deuxième: -2b+1<0 et a-1/2>0
: b>1/2 et a>1/2 b
j'attends vos remarques !
Au plaisir

je crois c pas une équivalence , je crois qu'il s'agit d'une implication , et si vous voulez prendre le chemin inverse (comme M.Marjani et Mlle betty ) ce qui est une implication inverse , alors il fallait démontrer
a+b-2ab>=1/2 =====> a>=1/2 ou b>= 1/2

et j trouver une soluc ac C.S :
V(a²+b²).V((1-2b)²+1)>= a+b-2ab
et avec une équivalence vous trouver la soluc ^^!