Théorème de Steiner-Lehmus

asalam 3alikom





la Théorème de Steiner-Lehmus dit que
Soit un triangle ABC. Soient D et E les pieds des bissectrices issues de B et A. On a alors :

AE = BD si et seulement si ABC est isocèle.

montrer cela



.

Salut voici une méthode collège


ABC et un triangle et (BD) est la bissectrice de l'angleCBA
Donc CD/DA=BC/BA (1)
(lademonstration de ce que j'ai utilisé st dans ce lien:https://mathsmaroc.jeun.fr/seconde-tronc-commun-f6/bissectrice-d-un-angle-t13210.htm)
t de meme avec l'angle CAB on a EC/EB=CA/BC (2)

de (1) et (2) on a CD/DA=EC/EB car CB=CA (CAB est isocele)
on deduis que (DE) est parallele avec(AB) (thales)
On utilise thales et on a DA/CA=EB/CB donc DA=EB
CAB est isocele en C donc DAB=EBA (angles)
DBA et EBA sont deux triangles tel que:
DAB=EBA(angles)
DA=EB
AB=AB
Donc ils sont isometrique d'ou DB=AE
@+

Soit T l'intersection de AE et BD.
Alpha=Beta=épsilon=Y, çe veut dire que ABT est un triangle isoécle en T, donc AT=BT. (1), <BTE= <DTE, donc ADT et BET semblables. (2)
De (1) et (2) ADT et BET sont égaux, donc TE=TD. (3)
En sommant (1) et (3) on trouve que: AE=BD.

Azerty1995 a écrit:

ABC et un triangle et (BD) est la bissectrice de l'angleCBA
Donc CD/DA=CB/BC (1)

Faut pas déconner.

Dijkschneier a écrit:

Azerty1995 a écrit:

ABC et un triangle et (BD) est la bissectrice de l'angleCBA
Donc CD/DA=CB/BC (1)

Faut pas déconner.

Ya une faute?

Azerty1995 a écrit:

Ya une faute?

A vous de voir jeune homme.

je pense que j'ai juste c'une propriété de la bissectrice tu n'as qu'a visiter le lien

Je pense que c'est juste une erreur de frappe, c'est plutot BC/AB au lieu de CB/BC

la demonstration de Azerty1995 est n'e pas complete et insuffisant

L'implication AE=BD => "ABC est isocèle" est vraie, et est bien plus intéressante.